Last Updated on Juli 25, 2021 by prooffic
Postingan kali ini akan menyajikan mengenai Pembahasan Soal ONMIPA 2012 Analisis Real Tingkat Nasional. Pembahasan berikut meliputi fungsi kontinu, teorema letak akar dan teorema nilai rata-rata.
**Selamat Menikmati**
Pendahuluan
Terlebih dahulu kita menyajikan beberapa definisi dan teorema-teorema yang digunakan pada pembahasan berikut.
Definisi Fungsi Kontinu : Diberikan fungsi $f$ pada $A$ dengan $c \in A.$ $f$ kontinu di $c$ jika untuk setiap $\varepsilon > 0,$ terdapat $\delta > 0$ sedemikian sehingga untuk $x \in A$ dengan $|x-c| < \delta$ berlaku $$|f(x) – f(c)| < \varepsilon$$
Teorema Letak Akar : Misalkan $f$ adalah fungsi kontinu pada $[a,b]$ dengan $f(a)$ dan $f(b)$ memiliki tanda yang berbeda, dengan kata lain $f(a) \cdot f(b) \leq 0,$ maka terdapat $c$ di $[a, b]$ dengan sedemikian sehingga $f(c) = 0.$
Teorema Nilai Rata-rata : Misalkan $f$ adalah fungsi pada $[a,b],$ kontinu pada interval tersebut dan terdiferensial pada $(a,b)$. Maka, terdapat $c$ di $(a,b)$ sedemikian sehingga $$f(b)-f(a) = f'(c) (b-a)$$
Soal Hari Pertama
Soal
Misalkan fungsi $f : [a,b] \to [a,b]$ dengan $$|f(x) – f(y)| < \frac{|x-y|}{3} $$untuk setiap $x, y \in [a,b].$ Tunjukkan bahwa terdapat $c \in [a,b]$ sehingga $f(c) = c.$
Jawab
Diberikan fungsi $f : [a,b] \to [a,b]$ yang memenuhi $$|f(x) – f(y)| < \frac{|x-y|}{3} $$untuk setiap $x, y \in [a,b].$ Terlebih dahulu kita akan menunjukkan bahwa $f$ kontinu pada interval tersebut dengan menunjukkan bahwa fungsi tersebut kontinu di setiap titik dari $[a,b].$ Untuk itu, misalkan $x$ adalah sebarang titik di $[a,b]$ dan diberikan sebarang $\varepsilon>0.$ Pilih $\delta = 3 \varepsilon.$ Maka, untuk setiap $y \in [a,b]$ dengan dan $|x-y|<\delta,$ berlaku bahwa $$|f(x) – f(y)| \leq \frac{1}{3} |x-y| < \frac{1}{3} \delta = \varepsilon $$Ini membuktikan bahwa $f$ kontinu di $c.$ Karena $c$ sebarang titik pada $[a,b]$ dan berlaku $f$ kontinu di $c,$ maka dapat disimpulkan bahwa $f$ kontinu pada $[a, b].$
Kita akan menunjukkan bahwa terdapat $c \in [a,b]$ sehingga $f(c) = c$ dengan menggunakan teorema letak akar. Didefinisikan fungsi pada $[a,b]$ dengan $$g(x)=f(x)-x $$untuk setiap $x \in [a,b].$ Selain itu, juga berlaku bahwa $$a \leq f(x) \leq b $$untuk setiap $x.$ Dari sini, $$g(a) =f(a) – a \geq a-a = 0 $$Di lain pihak, berlaku $$g(b) = f(b) – b \leq b – b = 0$$
Akibatnya, $g(a) \geq 0$ dan $g(b) \leq 0.$ Sehingga, $$g(a) \cdot g(b) \leq 0 $$Oleh karena itu, dengan teorema letak akar, terdapat $c$ di $[a,b]$ sedemikian sehingga $g(c) = 0.$ Karena $g(c) = 0,$ maka $f(c) – c = g(c) = 0$ dan haruslah $f(c) = c.$ Jadi, terdapat $c$ di $[a,b]$ sedemikian sehingga $f(c) = c.$
Baca Juga:
Kumpulan pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA
Kumpulan pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA Tingkat Nasional
Kumpulan pembahasan Soal KNMIPA 2021
Soal Hari Kedua
Soal
Misalkan $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ dengan $f(a) = 0.$ Misalkan terdapat $k>0$ dan $m>0$ sedemikian sehingga $$|f'(x) – k f(x)| \leq m |f(x)| $$untuk setiap $x \in [a,b].$ Tunjukkan bahwa $f(x) = 0$ untuk setiap $x \in [a,b].$
Jawab
Dari asumsi yang dimiliki $g,$ untuk setiap $x \in [a,b]$ kita peroleh bahwa dengan ketaksamaan segitiga, $$|f'(x)| – k |f(x)| \leq |f'(x) – k f(x)| m |f(x)| $$dan $$|f'(x)| \leq (m+k) |f(x)|$$
Tulis $M = m + k.$ Maka, $|f'(x)| \leq M |f(x)|$ untuk setiap $x \in [a,b].$ Kemudian, karena $f$ terdiferensial, maka $f$ terbatas pada interval tutup tersebut. Misalkan $K$ adalah batas bagi $f$ pada $[a,b].$
Bagi $[a,b]$ menjadi beberapa subinterval sedemikian sehingga setiap interval memiliki panjang positif tetapi tidak lebih dari $frac{1}{2M}.$ Sehingga, hanya akan terdapat paling banyak berhingga banyaknya subinterval yang terbentuk. Misalkan bahwa interval-interval tersebut adalah $$[a, y_1], [y_1, y_2] , \cdots , [y_{n-1}, b] $$
Kita akan menunjukkan bahwa $f$ akan bernilai nol pada interval tersebut. Terlebih dahulu kita tinjau untuk interval $[a, y_1].$ Misalkan $x_0$ adalah sebarang titik di $[a, y_1].$ Maka, berdasarkan teorema nilai rata-rata untuk turunan, terdapat $x_1$ sedemikian sehingga $$\begin{aligned} |f(x_0)| &= |f(x_0) – f(a)| \\&= |f'(x_1)| (x_0 – a) \\ & \leq M |f(x_1)| \frac{1}{2M}\end{aligned} $$Bagian terakhir tersebut diperoleh karena $$(x_0 – a) \leq x_1 – a \leq \frac{1}{2M}$$
Kemudian, $$\begin{aligned} |f(x_0)| & \leq M |f(x_1)| \frac{1}{2M} \\ & \leq \frac{1}{2} |f(x_1)|\end{aligned} $$Selanjutnya, dengan kembali menerapkan teorema nilai rata-rata, terdapat $x_2$ di $[a, b]$ sedemikian sehingga $$|f(x_1)| = |f(x_1) – g(a)| = |f'(x_2)| (x_1 – a) $$yang berakibat bahwa $$\begin{aligned} |f(x_0)| & \leq M |f(x_1)| \frac{1}{2M} \\ & \leq \frac{1}{2} |f(x_1)| \\&= \frac{1}{2}|f'(x_2)| (x_1 – a) \\ &\leq \frac{1}{2} M |f(x_2)| \frac{1}{2M} \\& = \frac{1}{2^2} |f(x_2)|\end{aligned}$$
Akibatnya, jika proses tersebut dilanjutkan, maka akan diperoleh barisan $(x_n)$ di $[a, x_1]$ sedemikian sehingga $$|f(x_0)| \leq \frac{1}{2^n} |f(x_n)| $$yang berkibat bahwa $$|f(x_0)| \leq \frac{1}{2^n} K $$untuk setiap bilangan asli $n.$ Dengan mengambil $n \to \infty, $maka diperoleh $f(x_0) = 0.$ Karena $x_0$ adalah titik sebarang pada $[a, x_1]$ dan berlaku bahwa $f(x_0) = 0,$ maka kita dapat menyimpulkan bahwa $f(x) = 0$ untuk setiap $x \in [a, x_1].$
Proses yang sama bisa terapkan pada interval $[x_1, x_2]$ dengan $f(x_1) = 0.$ Sehingga, kita juga akan peroleh bahwa $f(x)=0, x\in [x_1, x_2].$ Dengan melanjutkan proses tersebut hingga pada interval $[x_{n-1}, b],$ kita simpulkan bahwa $f(x) = 0$ untuk setiap $x$ di $[a, b].$
Demikian postingan kali ini tentang Pembahasan Soal ONMIPA 2012 Analisis Real Tingkat Nasional. Jika Anda tertarik dengan pembahasan soal ONMIPA / KNMIPA lainnya, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
