Last Updated on Agustus 21, 2021 by prooffic
Postingan kali ini akan menyajikan tentang pembahasan Soal KNMIPA 2021 Analisis Kompleks Tingkat Nasional. Pembahasan berikut terdiri dari dua soal, soal hari pertama dan soal hari kedua. Materi yang termuat dalam pembahasan berikut adalah integral kompleks atas kontur, serta konjugat dan modulus dari bilangan kompleks.
**Selamat menikmati**
Soal Hari Pertama
Diketahui fungsi $f$ analitik di dalam dan pada kurva tertutup sederhana $\gamma$ dan $z_0$ sebuah titik pada bidang kompleks yang tidak berada pada $\gamma.$ Buktikan untuk setiap bilangan asli $m$ dan $n$ berlaku $$\oint_{\gamma} \frac{f^{(m)}(z)}{(z-z_0)^n} dz = \frac{(m+n-1)!}{(n-1)!} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{m+n}} dz$$
Jawab: Ide dari penyelesaian soal ini adalah menggunakan rumus integral Cauchy, yaitu $$\frac{1}{2 \pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz = \frac{1}{n!} f^{n}(z_0) $$untuk setiap bilangan asli $n.$ Selain itu, kita juga mengetahui sifat fungsi analitik bajwa jika $f$ analitik, maka semua turunannya juga merupakan fungsi analitik yang berakibat bahwa untuk setiap bilangan asli $m,$ $f^{(m)}$ juga merupakan fungsi analitik.
Kemudian, berdasarkan rumus integral Cauchy dengan mengganti peran $f$ dengan $f^{(m)}, $maka $$\begin{aligned}\frac{1}{2 \pi i} \oint_{\gamma} \frac{f^{(m)}(z)}{(z-z_0)^n} dz &= \oint_{\gamma} \frac{f^{(m)}(z)}{(z-z_0)^{(n-1)+1}} dz\\&= \frac{1}{(n-1)!} f^{(m+n-1)}(z_0) \end{aligned} $$yang berakibat bahwa $$f^{(m+n-1)}(z_0) =\frac{(n-1)!}{2 \pi i} \oint_{\gamma} \frac{f^{(m)}(z)}{(z-z_0)^n} dz $$
Di lain pihak, berdasarkna rumus integral Cauchy dengan mengganti peran $n$ dengan $m+n$, maka $$\begin{aligned} \frac{1}{2 \pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{m+n-1}} dz &= \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{(m+n-1)+1}} dz\\&= \frac{1}{(m+n-1)!} f^{(m+n-1)}(z_0) \end{aligned} $$yang berakibat bahwa $$f^{(m+n-1)}(z_0) = \frac{(m+n-1)!}{2 \pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{m+n-1}} dz$$
Oleh karena itu, dari kedua kesamaan atas $f^{(m+n-1)}(z_0),$ maka $$\frac{(n-1)!}{2 \pi i} \oint_{\gamma} \frac{f^{(m)}(z)}{(z-z_0)^n} dz = \frac{(m+n-1)!}{2 \pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{m+n-1}} dz $$Sehingga, $$\oint_{\gamma} \frac{f^{(m)}(z)}{(z-z_0)^n} dz = \frac{(m+n-1)!}{(n-1)!} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{m+n-1}} dz $$
Jadi, untuk setiap bilangan asli $m$ dan $n$ berlaku $$\oint_{\gamma} \frac{f^{(m)}(z)}{(z-z_0)^n} dz = \frac{(m+n-1)!}{(n-1)!} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{m+n}} dz$$
Baca Juga:
Kumpulan Pembahasan Soal KNMIPA 2021
Kumpulan Pembahasan Soal ONMIPA / KNMIPA Tingkat Nasional
Kumpulan Pembahasan Soal ONMIPA / KNMIPA Analisis Kompleks
Pembahasan Soal Analisis Kompleks
Soal Hari Kedua
Pasangan terurut bilangan real $(a,b)$ dikatakan milenial jika memenuhi persamaan $(a+bi)^{2021} = a^2 – b^2 – 2abi,$ dengan $i = \sqrt{i}$
- Jika $(a,b)$ adalah milenial, tunjukkan bahwa $a= b = 0$ atau $a^2 + b^2 =1.$
- Hitung banyaknya semua pasangan milenial.
Jawab:
Misal $z=a+bi,$
(1) perhatikan bahwa $\overline{z} = a-bi$ dan $$\begin{aligned} a^2 – b^2 – 2abi &= \overline{(a-bi)^2} \\&= \overline{z}^2 \end{aligned} $$Dari sini, $$\begin{aligned}z^{2021} &= (a+bi)^{2021} \\&= a^2 – b^2 – 2abi \\&= \overline{(a-bi)^2} \\&=\overline{z}^2 \end{aligned}$$dan $$ z^{2021} = \overline{z}^2 $$Sehingga, dengan mengambil modulus pada kedua ruas, maka $$|z| = |\overline{z}^2| = |z|^2$$ Kemudian, $$(|z|^2(|z|^{2019} – 1)) = 0$$ yang berakibat bahwa $|z|= 0 $ atau $|z|^{2019} – 1 = 0.$
Jika $|z|= 0,$ maka haruslah $a = b = 0.$ Selain itu, jika $|z|^{2019} – 1 = 0,$ maka dapat dicek bahwa satu-satunya $|z|$ yang memenuhi (berupa bilangan real) adalah $|z|=1.$ Sehingga, $$a^2 + b^2 = |z|^2 = 1$$
Jadi, $a= b = 0$ atau $a^2 + b^2 =1.$
(2) Dari hasil bagian pertama, maka pasangan milenial $(a,b)$ merupakan titik yang berada di lingkaran satuan atau merupakan titik asal. Misal bahwa $(a,b)$ merupakan titik yang berada di lingkaran satuan. Anggap bahwa $(a,b)$ sebagai lokasi koordinat dari pasangan tersebut. Maka, pasangan $(a,b)$ dapat dinyatakan sebagai $e^{i\theta}$ untuk suatu $\theta$ di $[0, 2\pi).$ Perhatikan bahwa pemasangan tersebut bersifat satu-satu.
Dari sini, dapat ditulis $$e^{2021 i \theta} = (e^{i \theta}) ^{2021} = z^{2021} = \overline{z}^2 = (e^{-i \theta})^2 = e^{-2 i \theta} $$yang berakibat bahwa $$e^{2021 i \theta} = e^{-2 i \theta} $$Oleh karena itu, $$\begin{aligned}2021 \theta &= -2 \theta + 2\pi k \\ \theta &= \frac{2\pi}{2023} k \end{aligned}$$ untuk $k \in \mathbb{Z}.$ Kita perlu mencari $k$ sehingga $\theta$ di $[0, 2\pi).$
Tulis $$0 \leq \theta < 2 \pi $$Maka $$\begin{aligned} 0 & \leq \frac{2\pi}{2023} k < 2\pi \\0 & \leq k <2023 \end{aligned} $$Sehingga, $k$ yang memenuhi adalah $\{0, 1, 2, \cdots, 2022\}.$ Oleh karena itu, banyaknya $k$ yang memenuhi adalah 2013 bilangan. Jadi, banyaknya semua pasangan milenial adalah $2022+1 = 2023.$
Demikian postingan kali ini tentang pembahasan Soal KNMIPA 2021 Analisis Kompleks Tingkat Nasional. Jika Anda tertarik dengan pembahasan soal ONMIPA / KNMIPA lainnya, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan materi atau topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
