Last Updated on November 12, 2024 by prooffic
Postingan kali ini akan membahasan mengenai Soal dan pembahasan ONMIPA 2018 Analisis Kompleks Uraian. Postingan ini merupakan kelanjutan dari Soal dan pembahasan ONMIPA 2018 Matematika Analisis Kompleks. Di postingn tersebut, kita hanya membahas mengenai soal isian singkatnya saja. Sehingga, untuk bagian uraian, akan kita bahas di sini.
Pembahasan kali ini akan melibatkan sifat-sifat dasar dari bilangan kompleks. Terutama representasi dalam bentuk bagian real dan bagian imajinernya. Selain itu, juga melibatkan integral fungsi kompleks atas suatu kurva tertutup. Sebelumnya, kita bahas sedikit mengenai kedua materi tersebut.
Ada beberapa cara penyajian dari bilangan kompleks $z$. Salah satu di antaranya adalah berupa penyajian dalam bentuk $$z = x + i y$$dengan $x, y$ merupakan bilangan real. Dalam penyajian tersebut, $x$ disebut bagian real. Sedangkan, $y$ disebut bagian imajiner. Serta, $i$ adalah bilangan yang memenuhi $i^2 = 1$.
Selanjutnya adalah terkait dengan integral atas suatu kurva, terutama berupa lingkaran $\gamma$ yang berjari-jari $r$ dengan pusat titik asal yang dituliskan sebagai $$\gamma = \{ r e^{i\theta} : 0 \leq \theta \leq 2 \pi\}$$Misalkan $f : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$. Integral dari $f$ atas lingkaran $\gamma$ adalah $$\int_{\gamma} f(z) dz = \int_{0} ^{2 \pi} f(r e^{i \theta}) r e^{i \theta} d \theta$$
Kita akan membahas penyelesaian ONMIPA 2018 Analisis Kompleks Uraian dengan menggunakan kedua konsep dasar tersebut.
**Selamat menikmati**
Soal 1
Misalkan $z \in \mathbb{C}$ sehingga $|1+z^2|<1$. Tunjukkan bahwa $2|1+z|^2 \geq 1$.
Jawab: Terlebih dahulu misalkan $z \in \mathbb{C}$ yang memenuhi ketaksamaan $$|1+z^2|<1$$ Akan ditunjukkan bahwa $z$ tersebut memenuhi bahwa $$2|1+z|^2 \geq 1$$ Kali ini kita menggunakan metode pembuktian kontradiksi. Untuk itu, andaikan bahwa $$2|1+z|^2 < 1$$
Tuliskan $z$ dalam bentuk bagian real dan bagian imajinernya, yaitu $$z = x + i y$$dengan $x ,y \in \mathbb{R}$. Perhatikan bahwa $x$ adalah bagian real, sedangkan $y$ merupakan bagian imajinernya. Kemudian, $$z^2 = x^2 -y^2 + 2xyi$$Dari ketaksamaan $$|1+z^2|<1$$diperoleh bahwa $$\begin{aligned}|1 + z^2| &< 1 \quad \\ |1+ x^2 -y^2 + 2xyi| &< 1 \quad \\ (1+x^2 -y^2 )^2+4 x^2 y^2 &< 1 \\ 1 + 2(x^2 -y^2) + (x^2 – y^2 )^2 +4 x^2 y^2 &< 1 \\ 2(x^2 -y^2) + x^4 +y^4 +2 x^2 y^2 &< 0\\ 2(x^2 -y^2) + (x^2 +y^2)^2 &< 0 \quad \cdots \text{(1)}\end{aligned}$$Kemudian, dari ketaksamaan $$2|1+z|^2 < 1$$diperoleh bahwa $$\begin{aligned} 2|1+z|^2 &< 1 \quad \\ 2 |1 + x + yi|^2 &< 1 \quad \\ (1+x)^2 + y^2 & < \frac{1}{2} \\ 1 + 2x + x^2 +y^2 &< \frac{1}{2} \\ 2 + 4x +2(x^2 + y^2) &<1 \\ 2(x^2 + y^2) + 1 + 4x &< 0\quad \cdots \text{(2)} \end{aligned}$$
Jumlahkan ketaksamaan (1) dan ketaksamaan (2), maka diperoleh bahwa $$\begin{aligned}4x^2 + 4x + 1 + (x^2 + y^2)^2 &< 0 \\ (2x + 1)^2 + (x^2 + y^2)^2 &< 0 \end{aligned}$$Hal tersebut tidaklah mungkin.
Oleh karna itu, pengandaian salah. Jadi, $2|1+z|^2 \geq 1$ ♦
Soal 2
Diberikan $p(z) = a_n z^n +a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z +a_0$ adalah sebuah suku banyak kompleks berderajat $n>0$ dan $\gamma$ adalah lingkaran $|z|=r$. Buktikan bahwa $$ \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac{|p(z)|^2}{z^{1-n}} dz = a_0 \bar{a_n} r^{2n}$$
Jawab: Perhatikan bahwa $$\begin{aligned}|p(z)|^2 &= p(z) \bar{p}(z) \\ &=\left( \sum_{k=0} ^{n} a_n z^n\right) \left( \sum_{k=0} ^{n} \bar{a}_n \bar{z}_n\right) \\ &= \sum_{j,k=0} ^{n} a_j \bar{a}_k z^j \bar{z}^k\end{aligned}$$
Sehingga, $$\begin{aligned}\int_{\gamma} \frac{|p(z)|^2}{z^{1-n}} dz &= \int_{\gamma} \sum_{j,k=0} ^{n} a_j \bar{a}_k z^j \bar{z}^k z^{n-1} dz \\ &= \sum_{j,k=0} ^{n} a_j \bar{a}_k \int_{\gamma} z^{j+n-1} \bar{z}^k dz \end{aligned}$$Karena $$\gamma = \{r e^{i \theta} : 0 \leq \theta \leq 2 \pi \},$$maka $$\begin{aligned}\int_{\gamma} z^{j+n-1} \bar{z}^k dz &= \int_{0} ^{2 \pi} (re^{i \theta})^{j+n-1} (re^{- i \theta})^{k} r e^{i \theta} id\theta\\ &= \int_{0} ^{2 \pi} r^{n + j + k} e^{i (n + j – k) \theta} id\theta \\ &= r^{n + j + k} \int_{0} ^{2 \pi} e^{i (n + j – k) \theta} id\theta \end{aligned}$$
Perhatikan bahwa integral tersebut tidak bernilai nol hanya ketika $n + j – k = 0$, yaitu ketika $k – j = n$ yang mengakibatkan bahwa haruslah $k = n$ dan $j = 0$. Dari sini,
$$\begin{aligned}\int_{\gamma} \frac{|p(z)|^2}{z^{1-n}} dz &= \int_{\gamma} \sum_{j,k=0} ^{n} a_j \bar{a}_k z^j \bar{z}^k z^{n-1} dz \\ &= \sum_{j,k=0} ^{n} a_j \bar{a}_k \int_{\gamma} z^{j+n-1} \bar{z}^k dz \\ &= \sum_{j,k=0} ^{n} a_j \bar{a}_k r^{n + j + k} \int_{0} ^{2 \pi} e^{i (n + j – k) \theta} id\theta \\ &= a_0 \bar{a}_n r^{2n} \int_{0} ^{2 \pi} id\theta \\ &= a_0 \bar{a}_n r^{2n} 2 \pi i\end{aligned}$$
Oleh karena itu, kita punya $$\begin{aligned} \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac{|p(z)|^2}{z^{1-n}} dz &= \left(\frac{1}{2 \pi i}\right) \left( a_0 \bar{a_n} r^{2n} 2 \pi i\right) \\ &= a_0 \bar{a}_{n} r^{2n} \end{aligned}$$
Jadi, $$ \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac{|p(z)|^2}{z^{1-n}} dz = a_0 \bar{a_n} r^{2n} ♦$$
Demikian Soal dan Pembahasan ONMIPA 2018 Analisis Kompleks Uraian kali ini. Jika Anda tertarik dengan topik Soal dan Pembahasan ONMIPA (KNMIPA) lainnya silahkan ke sini, dan ke sini jika Anda tertarik dengan topik lainnya. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
