Last Updated on Mei 12, 2021 by prooffic
Postingan kali ini adalah tentang soal dan pembahasan ONMIPA 2014 Analisis Real Uraian nomor 1. Pembahasan soal kali ini menggunakan konsep fungsi Lipschitz, teorema letak akar dan karakterisasi interval yang dapat kalian pelajari di buku Introduction to Real Analysis oleh Bartle dan Sherbert. Pemahaman terhadap konsep-konsep tersebut diperlukan dalam memahami pembahasan berikut
**Selamat Membaca**
SOAL
Jika fungsi $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ memenuhi
$ |f(x)-f(y)|<|x-y|$ untuk setiap $x,y \in [0,1]$,
buktikan bahwa $F=\left \{ x \in [0,1] : f(x)=x \right \}$ merupakan singleton atau interval
JAWAB
Misalkan bahwa $f$ adalah fungsi dengan $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ dan memenuhi $|f(x)-f(y)|<|x-y|$ untuk setiap $x,y \in [0,1]$. Akan ditunjukkan bahwa himpunan $F=\left \{ x \in [0,1] : f(x)=x \right \}$ merupakan singleton atau interval.
Misalkan $I=[0,1]$. Berdasarkan asumsi, maka $f$ merupakan fungsi Lipschitz pada $[0,1]$ sehingga fungsi $f$ kontinu pada interval tersebut. selanjutnya, misalkan fungsi $g : I \rightarrow I$ dengan $g(x)=f(x)-x$ untuk setiap $x \in I$. Karena $f$ dan fungsi $x \rightarrow x$ kontinu pada $I$, maka $g$ juga kontinu pada interval tersebut. Selain itu, perhatikan bahwa
$g(0)=f(0)-0=f(0) \geq 0$
dan
$g(1)=f(1)-1 \leq 0$
Dengan teorema letak akar, maka terdapat $z \in I$ sedemikian sehingga $g(z)=0$. Dari sini, terdapat $z \in I$ sedemikian sehingga $f(z)=z$, dengan kata lain bahwa $F\neq \emptyset $. Jika $F$ adalah singleton, maka bukti selesai. Selanjutnya, asumsikan bahwa himpunan tersebut bukan singleton. Maka ada minimal dua anggota dari $F$. Misalkan $x_1$ dan $x_2$ adalah elemen di $F$. Karena $F$ bukan singleton, maka dapat diasumsikan bahwa $x_1 < x_2$. Akan ditunjukkan bahwa $[x_1,x_2] \subseteq F$. Untuk itu, misalkan $z \in [x_1,x_2]$ sebarang. Berdasarkan asumsi dan sifat nilai mutlak, diperoleh
$|f(x_2)-f(z)| \leq |x_2-z|= x_2-z =f(x_2)-z $
dan
$f(x_2)-f(z)\leq f(x_2)-z$.
Dari sini,
$f(z) \geq z$
Selain itu,
$|f(z)-f(x_1)| \leq |z- x_1 |= z-x_1=z- f(x_1)$
dan
$f(z)-f(x_1)\leq z- f(x_1)$.
Dari sini,
$z \geq f(z)$.
Karena $ f(z) \geq z$ dan $ z \geq f(z) $, maka $f(z)=z$. Oleh karena itu, $x \in F$. Akibatnya, diperoleh $[x_1,x_2] \subseteq F$ sehingga $F$ adalah interval. Dapat disimpulkan bahwa $F$ adalah singleton atau interval. ♦
Sekian mengenai soal dan pembahasan ONMIPA 2014 Matematika bagian kedua nomor 2 Analisis Real. Simak artikel mengenai soal dan pembahasan ON-MIPA 2014 lainnya, yaitu nomor 1 uraian dan nomor 3 uraian.Semoga membantu dan terima kasih.
