Last Updated on Oktober 7, 2024 by prooffic
Postingan kali ini adalah mengenai soal dan pembahasan ON-MIPA (Olimpiade Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam) /KN-MIPA (Kompetisi Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam) 2014. Perlu diketahui bahwa sejak tahun 2020, ON-MIPA PT diganti menjadi Kompetisi Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam tingkat Perguruan Tinggi (KN-MIPA PT). Kita akan membahas Soal dan pembahasan ONMIPA 2014 Analisis Real Bagian 2 (Uraian) Nomor 3. Pembahasan akan menggunakan konsep kontinuitas, integral Riemann dan beberapa konsep penting lainnya.
SOAL
Misalkan diketahui fungsi $f:[0,a] \rightarrow [0, \infty)$ kontinu dengan $f(0)=0$ dan $f$ mempunyai derivatif kanan dengan nilai derivatif kanan $f$ di 0 adalah 0. Jika
$f(t) \leq \int_{0}^{t} \frac{f(s)}{s} ds$, untuk setiap $t \in [0,a]$,
buktikan bahwa $f$ merupakan fungsi nol pada $[0,a]$.
Baca Juga:
Pendidikan Matematika dan Pembelajarannya
Pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA
JAWAB
Misalkan fungsi $f:[0,a] \rightarrow [0, \infty)$ kontinu dengan $f(0)=0$ dan $f$ mempunyai derivatif kanan dengan nilai derivatif kanan $f$ di 0 adalah 0. Asumsikan bahwa fungsi tersebut memenuhi
$f(t) \leq \int_{0}^{t} \frac{f(s)}{s} ds$
untuk setiap $t \in [0,a]$, akan dibuktikan bahwa $f$ merupakan fungsi nol pada $[0,a]$.
Terlebih dahulu, misalkan fungsi $g:[0,a]$ dengan $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ untuk $x\in(0,a]$ dan $g(0)=0$. Akan ditunjukkan bahwa $g$ merupakan fungsi nol sehingga berakibat bahwa $f$ juga merupakan fungsi nol pada $[0,a]$. Karena $f$ kontinu pada $[0,a]$ dan $f$ memiliki turunan kanan di 0 adalah 0, maka $g$ juga kontinu pada $[0,a]$. Andaikan bahwa $g$ bukan fungsi nol pada $[0,a]$, maka ada interval buka $(\alpha, \beta)$ sedemikian sehingga $g$ bernilai positif pada interval buka tersebut. Karena $g$ kontinu, maka ada $c$ di $(0, a]$ sedemikian sehingga
$\sup \left \{g(x): x\in[0,a]\right\}=g(c)>0$
Selanjutnya, karena $g(0)=0$ dan $g$ kontinu di 0, maka ada $\delta>0$ yang dekat ke nol sedemikian sehingga $g(x)<g(c)$ jika $x\in (0,\delta)$. Berdasarkan asumsi, maka
$f(c) \leq \int_{0}^{c} \frac{f(s)}{s} ds = \int_{0}^{c} g(s) ds$
Kemudian,
$\int_{0}^{c} g(s) ds = \int_{0}^{ \delta } g(s) ds + \int_{ \delta }^{c} g(s) ds$
Perhatikan bahwa
$\int_{0}^{ \delta } g(s) ds < \delta g(c)$
dan
$\int_{ \delta }^{c} g(s) ds \leq (c-\delta)g(c)$
Dari sini,
$\int_{0}^{c} g(s) ds < \delta g(c) + (c-\delta)g(c) = c g(c) = f(c)$
Oleh karena itu,
$f(c)<f(c)$
Tidak mungkin berlaku $f(c)<f(c)$, sehingga pengandaian salah dan haruslah $g$ fungsi nol pada $[0,a]$ yang berakibat bahwa $f$ fungsi nol pada $[0,a]$. ♦
Sekian postingan kali ini mengenai Soal dan Pembahasan ONMIPA 2014 Analisis Real Bagian 2 (Uraian) Nomor 3. Simak artikel mengenai soal dan pembahasan ON-MIPA/KN-MIPA 2014 lainnya, yaitu nomor 1 uraian dan nomor 2 uraian serta tahun-tahun/materi lainnya. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
