Last Updated on Mei 12, 2021 by prooffic
Postingan kali ini adalah tentang soal dan pembahasan ONMIPA 2014 Analisis Real Uraian nomor 1. Penyelesaian berikut menggunakan definisi dari konvergensi barisan dan sifat-sifat nilai mutlak seperti ketaksamaan segitiga. Pemahaman tentang kedua konsep tersebut diperlukan untuk memahami bukti berikut. Untuk itu, terlebih dahulu kita akan sedikit mengulas mengenai sifat-sifat nilai mutlak, terutama ketaksamaan segitiga dan definisi konvergensi barisan.
- Misalkan $a \in \mathbb{R}$. Nilai mutlak dari $a$, yaitu $|a|$, didefinisikan sebagai $a$ jika $a \geq 0$ dan $-a$ jika $a < 0$. Dengan definisi tersebut, kita dapat menurunkan salah satu sifat penting yang kita kenal sebagai ketaksamaan segitiga. Sifat tersebut mengatakan bahwa jika $x, y \in \mathbb{R}$, maka $|x + y| \leq |x| + |y|$
- Misalkan $(a_{n})$ adalah barisan di $\mathbb{R}$. $(a_{n})$ dikatakan konvergen ke suatu bilangan real $a$ jika untuk setiap $\varepsilon > 0$, terdapat $\delta > 0$ sedemikian sehingga untuk bilangan asli $n$ dengan $n \geq N$, berlaku bahwa $|a_{n} – a| < \varepsilon$. $a$ disebut sebagai limit dari $(a_{n})$ dan ditulis $$\lim_{n \rightarrow \infty} (a_{n}) = a$$
Kita akan menyelesaikan soal berikut dengan menggunakan beberapa sifat penting tersebut.
**Selamat Membaca **
SOAL
Diberikan barisan $(a_{n})$, didefinisikan barisan $(b_{n})$ sebagai berikut $$b_{n}=\frac{a_{1} – a_{2} + a_{3} + … + (-1)^{n+1}a_{n}}{n}$$
- Buktikan: Jika $a_{n}\rightarrow 0$.
- Jika Jika $a_{n}\rightarrow L\neq 0$, selidiki kekonvergenan dari barisan $(b_{n})$
JAWAB
Asumsikan bahwa barisan $(a_{n})$ konvergen ke 0, maka untuk setiap $\varepsilon>0$, terdapat $N \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga jika $n \geq N$, berlaku $|a_{n}|<\varepsilon$. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa barisan $b_{n}$ merupakan barisan yang konvergen ke 0.
Perhatikan bahwa, $$|b_{n}| = \left( \frac{a_{1} – a_{2} + a_{3} + … + (-1)^{n+1} a_{n}}{n} \right) \leq \frac{|a_{1}| + |a_{2}|+|a_{3}|+…+|a_{n}|}{n}$$
Jika $n \geq N$, maka diperoleh bahwa $$|b_{n}| \leq \frac{|a_{1}| + |a_{2}| + |a_{3}| + … + |a_{N} |+ … + |a_{n}|}{n}$$
Selanjutnya, $$|b_{n}| \leq \frac{|a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|+…+|a_{N}|+(n-N) \varepsilon}{n}$$
dan $$|b_{n}| \leq \frac{|a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|+…+|a_{N}|}{n}+\frac{(n-N)}{n}\varepsilon/2$$
Karena $n \geq N$, maka $\frac{(n-N)}{n}\varepsilon/2 < \varepsilon/2$. Sehingga, $$|b_{n}| < \frac{|a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|+…+|a_{N}|}{n}+\varepsilon /2$$
Dari konvergensi barisan $\left (\frac{|a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|+…+|a_{N}|}{n} \right )$, maka terdapat $N_{1} \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga jika $n \geq N_{1}$ berlaku $$ \left | \frac{|a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|+…+|a_{N}|}{n} \right | < \varepsilon/2$$
Dari sini, diperoleh bahwa jika $K=$maks{$N, N_{1}$} maka untuk $n \geq K$ berlaku $$|b_{n}| < \varepsilon/2+\varepsilon/2 = \varepsilon$$
Dapat disimpulkan bahwa barisan $b_{n}$ merupakan barisan yang konvergen ke 0 jika barisan $a_{n}$ konvergen ke 0. dari sini, kita telah membuktikan bagian 1. Selanjutnya, asumsikan bahwa barisan $(a_{n}$) konvergen ke $L\neq0$. Karena $a_{n} \rightarrow L$, maka $ (a_{n}-L) \rightarrow 0$. Berdasarkan hasil dari bagian pertama, diperoleh bahwa barisan $ (c_{n}) $ dengan $$c_{n}=\frac{(a_{1}-L)-(a_{2}-L)+(a_{3}-L)+…+(-1)^{n+1}(a_{n}-L)}{n}$$konvergen ke 0. Sehingga untuk sebarang $\varepsilon>0$, terdapat bilangan asli $K_{1}$ sedemikian sehingga jika $n \geq K_{1}$, maka $$|c_{n}| =\left | \frac{(a_{1}-L)-(a_{2}-L)+(a_{3}-L)+…+(-1)^{n+1}(a_{n}-L)}{n} \right | < \varepsilon/2$$
Dari sini,$$|c_{n}|=\left |\frac{a_{1}-a_{2}+a_{3}+…+(-1)^{n+1}a_{n}}{n}-\frac{L-L+…+(-1)^{n}L}{n} \right | \leq \varepsilon/2$$yang mengimplikasikan bahwa $$\left |\frac{a_{1}-a_{2}+a_{3}+…+(-1)^{n+1}a_{n}}{n} \right | \leq \varepsilon/2 + \left | \frac{L-L+…+(-1)^{n}L}{n} \right | $$
Karena barisan $( (L-L+…+(-1)^{n}L)/n)$ konvergen ke 0, maka terdapat bilangan asli $K_{2}$ sedemikian sehingga jika $n\geq$ berlaku $$\left | \frac{L-L+…+(-1)^{n}L}{n} \right |<\varepsilon/2$$
Selanjutnya, jika $n\geq$maks$(K_{1},K_{2})$, maka $$\left |\frac{a_{1}-a_{2}+a_{3}+…+(-1)^{n+1}a_{n}}{n} \right | < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon$$
Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa barisan $b_{n}$ konvergen ke 0. Dari sini, kita telah membuktikan bagian kedua. ♦
Sekian mengenai soal dan pembahasan ONMIPA 2014 Matematika bagian kedua nomor 1 Analisis Real. Simak artikel mengenai soal dan pembahasan ON-MIPA/KN-MIPA 2014 lainnya, yaitu nomor 2 uraian dan nomor 3 uraian. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
