Last Updated on November 15, 2024 by prooffic
Postingan kali ini adalah mengenai soal dan pembahasan KNMIPA 2020. Kita akan membahas soal dan penyelesaian dari KN-MIPA PT Bidang Matematika 2020 Uraian nomor 3 hari kedua Analisis Kompleks. Materi yang dimuat dalam soal ini merupakan analisis kompleks. Penyelesaian berikut menggunakan sifat-sifat dasar bilangan kompleks. Sifat dasar yang dimaksud seperti penyajian bilangan kompleks konjugat bilangan kompleks dan modulus bilangan kompleks.
**Selamat membaca**
SOAL
Misalkan $z \in \mathbb{C}$ sehingga $|z|+|z-2020|=2020$. Tunjukkan bahwa $|z-(20+20i)| \geq 20$
JAWAB
Terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa $z$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah bilangan real, yaitu $z=(x,0)$ untuk suatu $x \in \mathbb{R}$. Untuk itu, misalkan $z$ dituliskan dalam bentuk $z=x+iy$ dengan $x \in \mathbb{R}$ adalah bagian realnya dan $y \in \mathbb{R}$ adalah bagian imajinernya. Maka, $|z|=(z \cdot\bar{z})^{\frac{1}{2}}$ dan
$$\begin{aligned} |z-2020| & =((z-2020) \cdot (\overline{z} -2020))^{\frac{1}{2}} \\ & =(z \cdot \overline{z}-2020(z+\overline{z})+2020^{2})^{\frac{1}{2}}\end{aligned} $$
Selanjutnya,
$$\begin{aligned}|z|+|z-2020| & =2020 \\(z \cdot\bar{z})^{\frac{1}{2}}+ (z \cdot \overline{z}-2020(z+\overline{z})+2020^{2})^{\frac{1}{2}} & = 2020 \\ (z \cdot \bar{z})^{\frac{1}{2}}-2020 &= -(z \cdot \overline{z}-2020 (z+\overline{z})+2020^{2})^\frac{1}{2} \\ z \cdot \overline{z}+2020^{2}-4040 (z \cdot \overline{z})^{\frac{1}{2}}&=z \cdot \overline{z} – 2020 (z+\overline{z})+2020^{2} \\ (z \cdot \overline{z})^\frac{1}{2} &= \frac{z+\overline{z}}{2}=Re(z) \end{aligned}$$
Akibatnya, $|z|=Re(z)$. Perhatikan juga bahwa $$\begin{aligned} |z|^{2} &=[Re(z)]^{2}+[Im(z)]^{2} \\ |z|^{2} &= |z|^{2}+[Im(z)]^{2}. \end{aligned} $$
Dari sini $Im(z)=0$, sehingga $z \in \mathbb{R}$. Karena $z \in \mathbb{R}$, maka
$$\begin{aligned} |z-(20+20i)| &= ([Re(z-(20+20i))]^{2}+[Im(z-(20+20i))]^{2} )^{\frac{1}{2}} \\ &=((z-20)^{2}+20^{2})^{\frac{1}{2}}) \\ &\geq 20 \end{aligned}$$
Jadi, $|z-(20+20i)|\geq 20 $. ♦
Demikian postingan kali ini tentang soal dan pembahasan KNMIPA 2020 Uraian nomor 3 hari kedua Analisis Kompleks. Simak postingan lainnya tentang soal dan pembahasan Olimpiade Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (ON MIPA) / Kompetisi Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (KN MIPA) dan topik-topik lainnya. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
