Last Updated on Agustus 28, 2021 by prooffic
Pada postingan kali ini, kita akan membahas mengenai Soal dan Pembahasan ONMIPA Matematika 2006, terutama penyelesaian soal dari Bagian Kedua Nomor 1 Analisis Real Olimpiade Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Perguruan Tinggi (ONMIPA PT) Tahun 2006. Penyelesaian soal ini menggunakan Induksi Matematika dan Teorema Kekonvergenan Barisan Monoton. Sekedar mengingatkan, berikut adalah sekilas tentang teknik pembutkian prinsip Induksi Matematika dan Teorema Kekonvergenan Barisan Monoton, terutama barisan yang monoton naik.
**Selamat membaca**
Prinsip Induksi Matematika
Misalkan $P(n)$ adalah sebuah pernyataan terkait dengan bilangan asli $n$. Jika pernyataan-pernyataan berikut terpenuhi:
- $P(1)$ bernilai benar
- Jika $P(k)$ benar untuk bilangan asli $k$, maka $P(k+1)$ juga merupakan pernyataan yang benar
Maka $P(n)$ bernilai benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}$.
Teorema Kekonvergenan Barisan Monoton
Diberikan barisan bilangan real $(x_n)$. Jika barisan tersebut adalah barisan yang monoton naik dan terbatas, maka barisan tersebut konvergen ke $\sup_{n\in \mathbb{N}} {x_n}$
Selanjutnya, kita akan membahas mengenai Soal dan Pembahasan ONMIPA Matematika 2006, terutama penyelesaian soal dari Bagian Kedua Nomor 1 Analisis Real.
**Selamat Membaca***
Soal
Diberikan barisan $(x_{n})$ dengan $0<a=x_{1}<x_{2}=b$ dan
$x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}, n=1,2,3, \dots$
Tinjau barisan $(r_{n})$ dengan $r_{n}=\frac{x_{n+1}}{x_{n}}, n=1,2,3, \dots$.
1. Tunjukkan bahwa $1<r_{n}<2$ untuk $n=2,3,…$
2. Selidiki kekonvergenan $(r_{n})$
Jawab
1. Akan ditunjukkan bahwa $1<r_{n}<2$ untuk $n=2,3, \dots$ dengan menggunakan induksi matematika.
Basis Induksi: $n=2$
Perhatikan bahwa karena $0<a=x_{1}<x_{2}=b$ , maka $0<1< \frac{x_{2}}{x_{1}} =r_{1}$, sehingga
$\frac{1}{r_{1}}<1$ dan $\frac{1}{r_{1}} >0$.
Selanjutnya,
$r_{2}= \frac{x_{3}}{x_{2}}= \frac{x_{2}+x_{1}}{x_{2}} =1+\frac{x_{1}}{x_{2}}=1+ \frac{1}{r_{1}}<1+1=2$.
Selain itu,
$r_{2}= \frac{x_{3}}{x_{2}}= \frac{x_{2}+x_{1}}{x_{2}} =1+\frac{x_{1}}{x_{2}}=1+\frac{1}{r_{1}}>1+0=1$
Dari sini, $1<r_{2}<2$.
Langkah Induksi:
Asumsikan bahwa pernyataan benar untuk $n=k$, yaitu $1<r_{k}<2$. Dari sini, $\frac{1}{2}<\frac{1}{r_{k}}<1$. Akan ditunjukkan bahwa pernyataan juga bernilai benar untuk $n=k+1$. Perhatikan bahwa
$r_{k+1}=\frac{ x_{k+2}}{x_{k+1}}= \frac{ x_{k+1}+x_{k}}{x_{k+1}} =1+\frac{x_{k+1}}{x_k}=1+\frac{1}{r_{k}}<1+1=2$
dan
$r_{k+1}=\frac{ x_{k+2}}{x_{k+1}}= \frac{ x_{k+1}+x_{k}}{x_{k+1}}=1+\frac{x_{k+1}}{x_k}=1+\frac{1}{r_{k}}>1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}>1$
Oleh karena itu, $1<r_{k+1}<2$. Karena pernyataan juga bernilai benar untuk $n=k+1$, maka pernyataan bernilai benar untuk $n=1,2,3, \dots$
2. Pada bagian sebelumnya, telah ditunjukkan bahwa barisan $(r_{n})$ adalah terbatas dengan min$(r_{1},1)\leq r_{n}\leq$max$(2,r_{1})$. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa barisan tersebut adalah monoton. Perhatikan bahwa,
$r_{n+1}-r_{n}=\frac{x_{n+2}}{x_{n+1}}-\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=1+\frac{x_{n}}{x_{n+1}}-\frac{x_{n+1}}{x_{n}}$
Selanjutnya,
$r_{n+1}-r_{n}=1+\frac{1}{r_{n}}-r_{n}\geq1+\frac{1}{2}-1=\frac{1}{2}>0$ untuk $n\geq2$
Sehingga, barisan $(r_{n})$ adalah barisan monoton naik dan terbatas. Dengan Teorema konvergensi monoton, diperoleh bahwa barisan tersebut merupakan barisan konvergen.
Demikian pembahasan kali ini tentang solusi Bagian Kedua Nomor 1 Analisis Real Olimpiade Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Perguruan Tinggi (ONMIPA PT) Tahun 2006. Jika Anda tertarik dengan Soal dan Pembahasan ONMIPA Matematika 2006 lainnya, silahkan simak di sini. Jika Anda tertarik dengan topik-topik lainnya, silahkan simak di sini. Semoga membantu, sekian dan terima kasih.
