Last Updated on Agustus 29, 2021 by prooffic
Postingan kali ini adalah mengenai pembahasan soal ONMIPA Analisis Kompleks 2016. Soal yang disajikan terdiri dari Soal Isian Singkat. Materi yang termuat di dalamnya adalah representasi bilangan kompleks, fungsi harmonik, prinsip maksimum, dan residu.
Baca Juga:
Kumpulan Pembahasan Soal KNMIPA 2021
Kumpulan Pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA Tingkat Nasional
Bagaimana Sistem Bilangan Kompleks Didefinisikan?
Soal 1
Hitunglah $$(i-1)^{49} \left( \cos \frac{\pi}{40} + i \sin \frac{\pi}{40} \right)^{10}$$
Jawab. Perhatikan bahwa $$i-1 = \sqrt{2} (\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3 \pi}{4}) $$Sehingga, berdasarkan hukum De Moivre diperoleh $$\begin{aligned} (i-1)^{49} &= 2^{\frac{49}{2}} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3 \pi}{4} \right)^{49}\\ &=2^{\frac{49}{2}} \left( \cos \frac{3\pi \cdot 49}{4} + i \sin \frac{3 \pi \cdot 49}{4} \right) \\ &= 2^{\frac{49}{2}} \left( \cos \frac{3 \pi}{4} + i \sin \frac{3 \pi}{4} \right)\\ &= 2^{\frac{49}{2}} \left( – \frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}} \right)\end{aligned}$$
Selain itu, dengan hukum De Moivre, juga diperoleh $$\begin{aligned} \left( \cos \frac{\pi}{40} + i \sin \frac{\pi}{40} \right)^{10} &= \cos \frac{\pi \cdot 10}{40} + i \sin \frac{\pi \cdot 10}{40}\\ &= \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}}\end{aligned}$$
Sehingga, $$\begin{aligned}(i-1)^{49} \left( \cos \frac{\pi}{40} + i \sin \frac{\pi}{40} \right)^{10} &= 2^{\frac{49}{2}} \left( – \frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \\&= 2^{\frac{49}{2}} (-1) = -2^{\frac{49}{2}}\end{aligned}$$
Jadi, $$(i-1)^{49} \left( \cos \frac{\pi}{40} + i \sin \frac{\pi}{40} \right)^{10} = -2^{\frac{49}{2}}$$
Soal 2
Diketahui fungsi $u(x,y) = e^x (x \cos y – y \sin y).$ Selidiki, apakah ada fungsi harmonik $v(x,y)$ sehingga $$f(z) = f(x,y) = u(x,y) + i v(x,y) $$analitik. Jika ada, tuliskan.
Jawab. Perhatikan bahwa jika fungsi $z \mapsto f(z)$ analitik, maka bagian real dan imajinernya merupakan fungsi harmonik (Dapat dicek dengan menentukan turunan parsial kedua dan dengan menggunakan persamaan Cauchy-Riemann). Sehingga, kita cukup mencari $v(x,y)$ yang memenuhi persamaan Cauchy-Riemann. Oleh karena itu, $v$ memenuhi bahwa $u_x = v_y $ dan $u_y = -v_x.$ Terlebih dahulu kita akan mencari $u_x$ dan $v_x.$ Dengan menurunkan $u$ terhadap $x,$ maka diperoleh bahwa $$u_x = e^x (x \cos y – y \sin y) + e^x (\cos y) = e^x ((1+x) \cos y – y \sin y$$
Sedangkan, jika kita menurunkan $u$ terhadap $y,$ maka diperoleh $$\begin{aligned} u_y &= e^x (- x \sin y – \sin y – y \cos y) \\&= -e^x ((1+x) \sin y +y \cos y) \\ &= -e^x (1+x) \sin y – e^x y\cos y \end{aligned}$$Kemudian, dari persamaan $u_x = v_y$ kita peroleh bahwa $$v_y = e^x ((1+x) \cos y – y \sin y)$$ Dengan mengambil integral atas $y$ pada kedua ruas akan diperoleh $$\begin{aligned} v(x,y) &= e^x ((1+x) \sin y – \int y \sin y dy)\\ &= e^x ( (1+x) \sin y + y \cos y -\sin y) + C(x) \\&=e^x (x \sin y+y \cos y) + C(x)\end{aligned} $$untuk suatu fungsi $C(x).$
Selain itu, dari persamaan $u_y = – v_x$ diperoleh bahwa $$v_x = e^x (1+x) \sin y + e^x y \cos y $$Dengan mengambil integral atas $x$ pada kedua ruas, maka diperoleh bahwa $$\begin{aligned} v(x,y) &= \sin y \int e^x (1+x) dx + e^x y \cos y + D(x)\\ &= x e^x \sin y + e^ x y \cos y +D(y) \\&= e^x (x \sin y + y \cos y) + D(y)\end{aligned}$$
Dari kedua bentuk $v$ tersebut, maka dapat disimpulkan bahwa $C(x) = D(y)$ yang berakibat bahwa $C(x) = D(y) = C$ dengan $C$ adalah konstanta. Jadi, fungsi $v$ yang memenuhi adalah $$v(x,y) = e^x (x \sin y + y \cos y) + C $$untuk setiap $x, y \in \mathbb{R}.$
Soal 3
Carilah nilai maksimum dari $|z^2 + 2z -3|$ pada cakram satuan $|z| \leq 1$
Jawab. Karena pemetaan $z \mapsto z^2 + 2z -3$ analitik, maka $|z^2 + 2z -3|$ mencapai maksimum pada batas dari cakram satuan $|z| \leq 1,$ yaitu ketika $|z|=1.$ Sehingga, jika $z \mapsto z^2 + 2z -3$ mencapai maksimum pada $|z| \leq 1$ di $z,$ maka kita dapat memisalkan $z = \cos t + i \sin t$ dengan $0 \leq t \leq 2 \pi$ Kita akan mencari nilai $t$ tersebut.
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} |z+3| \cdot |z-1|&=|(3+ \cos t) + i \sin t| \cdot |(\cos t – 1) + i \sin t| \\ &= \sqrt{(3 + \cos t)^2+\sin^2 t} \cdot \sqrt{(\cos t – 1)^2+\sin^2 t} \\ &=\sqrt{(10+6 \cos t)(2 – 2 \cos t)} \\&= 2 \sqrt{(5+3 \cos t)(1-\cos t)}\\&= 2 \sqrt{5 – 2 \cos t – 3 \cos^2 t}\end{aligned}$$
Misalkan $f(t) = 2 \sqrt{5 – 2 \cos t – 3 \cos^2 t}.$ Maka $$f'(t) = 2 \frac{2 \sin t + 6 \sin t \cos t}{\sqrt{5 – 2 \cos t – 3 \cos^2 t}} $$Beradasarkan apa yang telah dipelajari di kalkulus, titik kritisnya adalah ketika $t = 0, t = 2 \pi$ dan ketika $t$ yang $f'(t) = 0.$ Dari persamaan $f'(t) = 0,$ diperoleh bahwa $t = 0, \pi, 2 \pi$ ataupun $\arccos \left( \frac{-1}{3} \right).$ Kita cek keempat nilai tersebut.
- Jika $t = 0,$ maka $$|z_2 + 2z – 3| = 2 \sqrt{5 – 2 \cos 0 – 3 \cos^2 0} = 0$$
- Jika $t = \pi,$ maka $$|z_2 + 2z – 3| = 2 \sqrt{5 – 2 \cos \pi – 3 \cos^2 \pi} = 2 \sqrt{4} = 4$$
- Jika $t = \2pi,$ maka $$|z_2 + 2z – 3| = 2 \sqrt{5 – 2 \cos 2\pi – 3 \cos^2 2\pi} = 0$$
- Jika $t = \arccos \left( \frac{-1}{3} \right),$ maka $$|z_2 + 2z – 3| = 2 \sqrt{5 – 2 \cos \left( \frac{-1}{3} \right) – 3 \cos^2 \left( \frac{-1}{3} \right)} = \frac{8}{\sqrt{3}}$$
Oleh karena itu, nilai maksimum dari $|z_2 + 2z – 3|$ pada $|z|\leq 1$ adalah $\frac{8}{\sqrt{3}}$ yang terjadi di $t = \arccos \left( \frac{-1}{3} \right).$
Soal 4
Tentukan residu dari fungsi $$f(z) = \frac{e^{\frac{1}{z}}}{z^2 + 1} $$di $z = 0.$
Jawab. Karena $$e^z = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{z^k}{k!},$$ maka $$\begin{aligned} e^{\frac{1}{z}} &= \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(1/z)^k}{k!} \\&= \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!z^k}\end{aligned} $$Selain itu, karena $$\frac{1}{1-z} = \sum_{k=0}^{\infty} z^k, $$maka $$\begin{aligned}\frac{1}{1+z^2} &= \sum_{k=0}^{\infty} (-z^2)^k\\&= \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k z^{2k} \end{aligned} $$
Dari sini, kita peroleh $$\begin{aligned} \frac{e^{\frac{1}{z}}}{z^2 + 1} & = e^{\frac{1}{z}} \cdot \frac{1}{1+z^2} \\&= \left(\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!z^k} \right) \cdot \left(\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n z^{2n} \right) \end{aligned}$$ Perhatikan bahwa indeks pada masing-masing deret tersebut dibuat berbeda untuk memudahkan dalam menentukan koefisien dari suku yang memuat $\frac{1}{z}.$
Suku yang memuat $\frac{1}{z}$ memiliki koefisien yang merupakan perkalian dari pasangan koefisien-koefisien tertentu dari deret-deret tersebut (akan lebih mudah jika Anda mengekspansinya). Hal tersebut terjadi ketika $n$ dan $k$ memenuhi persamaan $k = 2n +1.$ Sehingga, koefisien dari $\frac{1}{z}$ adalah $$1 – \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} – \frac{1}{7!} + \cdots = \sin (1)$$
Sehingga, residu dari fungsi tersebut di $z = 0$ adalah $\sin (1).$
Demikian postingan kali ini tentang pembahasan soal ONMIPA Analisis Kompleks 2016. Pembahasan ini terkait dengan Soal dan pembahasan KNMIPA / ONMIPA. Jika Anda tertarik dengan pembahasan soal KNMIPA / ONMIPA lainnya, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
