Last Updated on September 12, 2021 by prooffic
Postingan kali ini akan menyajikan tentang Pembahasan Soal Analisis Real Bartle Bagian 2.2. Materi tersebut adalah terkait Nilai mutlak dan garis bilangan real. Soal-soal yang disajikan diambil dari buku “Introduction to Real Analysis” oleh Robert G.Bartle dan Donald R. Sherbert. Sebelum membaca pembahasan berikut, alangkah baiknya Anda terlebih dahulu telah membaca materi Bab 2 bagian 2 di buku tersebut, yaitu nilai mutlak dan garis bilangan real.
**Selamat menikmati**
Pendahuluan
Berikut ini adalah definisi dan sifat-sifat dasar terkait dengan nilai mutlak dan garis bilangan yang digunakan dalam Pembahasan Soal Analisis Real Bartle Bagian 2.2.
Definisi 1. Nilai mutlak dari bilangan real $x,$ dinyatakan dengan $|x|$, didefinisikan dengan $$|x|= \begin{dcases} x, & x >0 \\ 0, & x = 0 \\ -x, & x<0 \end{dcases}$$
Sifat 1. Misalkan $a, b, c \in \mathbb{R}.$ Maka,
(a). $|ab| = |a||b|$
(b). $|a|^2 = a^2$
(c). Jika $c \geq 0,$ maka $|a| \leq c$ jika dan hanya jika $-c \leq a \leq c.$ Selain itu, jika $c > 0,$ maka $|a| < c$ jika dan hanya jika $-c < a < c.$
(d). $-|a| \leq |a| \leq |a|$
Sifat 2 (Ketaksamaan Segitiga). Jika $a, b \in \mathbb{R},$ maka $$|a+b| \leq |a| + |b|$$
Soal 1
Jika $a,b \in \mathbb{R}$ dan $b \neq 0,$ tunjukkan bahwa:
(a) $|a| = \sqrt{a^2}$
(b) $|a/b| = |a|/|b|$
Jawab. Perhatikan bahwa berdasarkan sifat urutan bilangan real, maka $a \geq 0$ atau $a<0.$ Jika $a \geq 0,$ maka $|a| = a$ dan $|a|^2 = a^2.$ Jika $a<0,$ maka $|a|=-a$ dan $|a|^2 = a^2.$ Sehingga, secara umum diperoleh bahwa $$|a|^2 = a^2 \geq 0 $$Dengan mengambil akar pada kedua ruas, diperoleh bahwa $$|a| = \sqrt{a^2} $$Ini membuktikan bagian (a).
Jika $a = 0,$ maka kesamaan tersebut jelas berlaku. Asumsikan bahwa $a \neq 0.$ Asumsikan bahwa tanda dari $a$ dan $b$ berbeda. Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan bahwa $a>0$ dan $b<0.$ Maka, $a/b < 0.$ Sehingga, $$\left| \frac{a}{b} \right| = – \frac{a}{b} = \frac{a}{-b} = \frac{|a|}{|b|} $$Selanjutnya, asumsikan bahwa tanda keduanya adalah sama. Misal $a,b >0.$ Maka, $a/b > 0$ dan $|a|=a, |b|=b.$ Sehingga, $$\left| \frac{a}{b} \right| = \frac{a}{b} = \frac{|a|}{|b|} $$Jika $a, b < 0,$ maka $a/b>0$ dan $|a| = -a, |b| = -b$. Sehingga, $$\left| \frac{a}{b} \right| = \frac{a}{b} = \frac{-a}{-b} = \frac{|a|}{|b|} $$Dari kasus-kasus tersebut, dapat disimpulkan bahwa $$\left| \frac{a}{b} \right| = \frac{|a|}{|b|} $$Ini membuktikan bagian (b).
Soal 2
Jika $a, b \in \mathbb{R},$ buktikan bahwa $|a+b| = |a| + |b|$ jika dan hanya jika $ab \geq 0.$
Jawab. Diberikan $a, b \in \mathbb{R}.$ Terlebih perhatikan bahwa untuk setiap bilangan real $a$ berlaku $|a|^2 = a^2.$ Hal tersebut berdasarkan sifat 2(c) Kemudian, asumsikan bahwa $$|a+b| = |a| + |b| $$Dengan mengkuadratkan kedua ruas, dan dengan menggunakan fakta $|a|^2 = a^2$ untuk tiap bilangan real $a,$ diperoleh juga bahwa $$\begin{aligned}|a+b|^2 &= (|a|+|b|)^2 \\ (a+b)^2 &= |a|^2 +2 |a||b| + |b|^2 \\ a^2 +2ab + b^2 &= |a|^2 +2|a||b|+|b|^2 \\ a^2 + 2ab + b^2 &= a^2 + 2|a||b|+b^2 \\ ab &= |ab| \end{aligned} $$Karena $|ab| \geq 0,$ maka $ab \geq 0.$ Sebaliknya, asumsikan bahwa $ab \geq 0.$ Maka, $|ab| = ab.$ Sama seperti sebelumya, diperoleh bahwa $$\begin{aligned} 2|ab| &= 2ab \\ a^2 + 2|a||b|+ b^2 & = a^2 + 2ab +b^2 \\ |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \\ (|a|+|b|)^2 &= (a+b)^2 \\ (|a|+|b|)^2 &= |a+b|^2 \end{aligned} $$Karena $|a|+|b|, |a+b| \geq 0,$ maka diperoleh bahwa $$|a| + |b| = |a+b|. $$Jadi, $|a+b| = |a| + |b|$ jika dan hanya jika $ab \geq 0.$
Soal 3
Jika $x, y, z \in \mathbb{R}$ dan $x \leq z,$ tunjukkan bahwa $x \leq y \leq z$ jika dan hanya jika $$|x – y| + |y-z| = |x-z| $$Interpretasikan secara geometri.
Jawab. Diberikan $x, y, z \in \mathbb{R}$ dan $x \leq z.$ Misal $a = x-y$ dan $ b = y-z.$ Maka, $a + b = x – z.$ Asumsikan bahwa $x \leq y \leq z.$ Maka, $a = x-y \leq 0$ dan $ b = y-z \leq 0.$ Sehingga, $$(x-y)(y-z) = ab \geq 0.$$ Berdasarkan soal nomor 2, maka haruslah $$|x – y| + |y-z| = |a| + |b| = |a+b| = |x-z| $$Sebaliknya, asumsikan bahwa $$|x – y| + |y-z| = |x-z| $$Maka, $$|a|+|b| = |a+b| $$Berdasarkan soal nomor 2, maka $ab \geq 0.$ Dari sini $$(x-y)(y-z) = ab \geq 0.$$ Jika salah satu $x-y$ atau $y-z$ bernilai nol, maka salah satu dari $x$ dan $z$ akan sama dengan $y.$ Dari sini, $x \leq y \leq z.$
Jika $x – y >0$ dan $y -z > 0,$ maka $x>y>z$ yang kontradiksi dengan asumsi bahwa $x \leq z.$ Sehingga, haruslah $x – y<0$ dan $y-z<0.$ Oleh karena itu, $x<y<z.$ Dari kasus-kasus tersebut, disimpulkan bahwa $x \leq y \leq z.$ Jadi, $x \leq y \leq z$ jika dan hanya jika $$|x – y| + |y-z| = |x-z| $$Secara geometri, dapat diperlihatkan pada gambar berikut.
Soal 4
Tunjukkan bahwa $|x-a| < \varepsilon$ jika dan hanya jika $a – \varepsilon < x < a + \varepsilon$
Jawab. Asumsikan bahwa $|x-a| < \varepsilon.$ Maka berdasarkan sifat 2 (c), $$-\varepsilon < x- a < \varepsilon $$Dengan menambahkan $a$ pada masing-masing ruas, diperoleh $$a – \varepsilon < x < a + \varepsilon $$Sebaliknya, asumsikan bahwa $$a – \varepsilon < x < a + \varepsilon $$Maka, dengan menambahkan $-a$ pada masing-masing ruas, diperoleh $$- \varepsilon < x – a < \varepsilon $$Oleh karena itu, $$|x-a| < \varepsilon $$Jadi, $|x-a| < \varepsilon$ jika dan hanya jika $a – \varepsilon < x < a + \varepsilon$
Soal 5
Jika $a < x < b$ dan $a < y < b,$ tunjukkan bahwa $|x-y|<b-a.$ Interpretasikan secara geometri.
Jawab. Asumsikan bahwa $a < x < b$ dan $a < y < b.$ Maka, dengan mengalikan $-1$ pada kedua masing-masing ruas dari $a < y < b,$ diperoleh bahwa $$-b < -y <-a $$Jumlahkan masing-masing ruas yang bersesuaian dari ketaksamaan terakhir dengan ketaksamaan $$a < x < b $$diperoleh $$a – b < x – y < b – a $$dan $$-(b-a) < x – y < b-a $$Karena $b-a>0,$ maka berdasarkan sifat 2 (c), diperoleh $$|x-y| < b-a$$ Secara geometri, dapat dilihat sebagai berikut.
Soal 6
Tentukan semua $x \in \mathbb{R}$ yang memenuhi ketaksamaan berikut.
(a) $|4x – 5| \leq 13$
(b) $|x^2 – 1| \leq 3$
Jawab.
(a) Misalkan bahwa $|4x – 5| \leq 13.$ Maka, berdasarkan sifat 2 (c), diperoleh bahwa $$\begin{aligned} -13 &\leq 4x – 5 \leq 13 \\ -13 +5 &\leq 4x \leq 13 +5 \\ -8 &\leq 4x \leq 18 \\ -2 &\leq x \leq \frac{9}{4}\end{aligned}$$ Sehingga solusinya adalah $$\left\{ x \in \mathbb{R} : -2 \leq x \leq \frac{9}{4} \right\}$$
(b) Misalkan bahwa $|x^2 – 1| \leq 3.$ Maka, berdasarkan sifat 2(c), diperoleh bahwa $$\begin{aligned}-3 &\leq x^2 – 1 \leq 3 \\ -3 + 1 &\leq x^2 \leq 3 + 1 \\-2 &\leq x^2 \leq 4 \end{aligned} $$Karena $x^2$ tak negatif, maka haruslah $$0 \leq x^2 \leq 4 $$Berdasarkan sifat ketaksamaan kuardat, diperoleh bahwa $$-2 \leq x \leq 2 $$Sehingga, solusinya adalah $$\left\{ x \in \mathbb{R} : -2 \leq x \leq 2 \right\}$$
Soal 7
Tentukan semua $x \in \mathbb{R}$ yang memenuhi persamaan $$|x+1|+|x-2| = 7$$
Jawab. Akan dibagi menjadi 4 kasus sebagai berikut
- $|x+1| = x+1$ dan $|x-2| = x-2.$ Maka $$\begin{aligned} |x+1|+|x-2| &= 7 \\(x+1) + (x-2) &= 7 \\ 2x-1 & = 7\\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \end{aligned} $$Sehingga, untuk kasus pertama, $x = 4.$
- $|x+1| = x+1$ dan $|x-2| = -(x-2) = -x + 2.$ Maka $$\begin{aligned} |x+1|+|x-2| &= 7 \\(x+1) + (-x+2) &= 7 \\ 3 & = 7 \end{aligned} $$Hal tersebut tidak mungkin terjadi. Sehingga, untuk kasus kedua, tidak ada $x$ yang memenuhi.
- $|x+1| = -(x+1) = -x -1$ dan $|x-2| = x-2.$ Maka $$\begin{aligned} |x+1|+|x-2| &= 7 \\(-x-1) + (x-2) &= 7 \\ -3 & = 7 \end{aligned} $$Hal tersebut juga tidak mungkin terjadi. Sehingga, untuk kasus ketiga, tidak ada $x$ yang memenuhi.
- $|x+1| = -(x+1) = -x – 1$ dan $|x-2| = -( x-2 ) = -x + 2.$ Maka $$\begin{aligned} |x+1|+|x-2| &= 7 \\(-x-1) + (-x+2) &= 7 \\ -2x+1 & = 7\\ -2x &= 6 \\ x &= -3 \end{aligned} $$Sehingga, untuk kasus keempat, $x = -3.$
Dari kasus-kasu tersebut, dapat disimpulkan bahwa semua nilai $x \in \mathbb{R}$ yang memenuhi adalah anggota dari himpunan $\{ -3, 4\}$
Soal 8
Tentukan semua nilai dari $x$ yang memenuhi persamaan-persamaan berikut.
(a) $x+1 = |2x-1|$
(b) $2x – 1 = |x – 5|$
Jawab. Sama seperti nomor sebelumnya, pada masing-masing persamaan.
(a) Akan dibagi menjadi dua kasus sebagai berikut.
- $| 2x – 1 | =2x – 1.$ Maka, $2x – 1 \geq 0$ dan $x \geq 1/2.$ Selain itu, $$\begin{aligned} x+1 & =|2x-1| \\x+1 &= 2x-1 \\ -x & = -2\\ x &= 2 \end{aligned} $$Sehingga, untuk kasus pertama, $x = 2.$
- $|2x – 1| = -(2x – 1) = -2x + 1.$ Maka, $2x – 1 < 0$ dan $x < 1/2.$ Selain itu,$$\begin{aligned} x+1 & =|2x-1| \\x+1 &= -2x+1 \\ 3x & = 0\\ x &= 0 \end{aligned} $$Sehingga, untuk kasus kedua, $x = 0.$
Jadi, nilai dari $x$ yang memenuhi $x+1 = |2x-1|$ adalah $x = 0$ atau $x = 2.$
(b) Akan dibagi menjadi dua kasus sebagai berikut.
- $| x – 5 | =x – 5.$ Maka, $x \geq 5$ dan $$\begin{aligned} 2x – 1 = |x – 5| \\2x – 1 &= x – 5 \\ x & = -4 \end{aligned} $$ Karena $x \geq 5,$ maka untuk kasus pertama, tidak ada $x$ yang memenuhi.
- $|x – 5| = -(x – 5) = -x + 5.$ Maka, $x < 5$ dan $$\begin{aligned} 2x – 1 = |x – 5| \\2x – 1 &= -x + 5 \\ 3x & = 6\\ x &= 2 \end{aligned} $$Karena $x < 5,$ maka untuk kasus kedua, nilai $x$ yang memenuhi adalah $2$
Jadi, nilai dari $x$ yang memenuhi $x+1 = |2x-1|$ adalah $x = 2.$
Demikian pembahasan kali ini tentang pembahasan Soal Analisis Real Bartle Bagian 2.2. Pembahasan kali ini adalah terkait dengan materi/topik Analisis real, terutama Pembahasan Soal Analisis Real buku Introduction into Real Analysis. Jika Anda tertarik, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
