Last Updated on Agustus 20, 2023 by prooffic
Postingan kali ini akan membahas tentang Pembahasan Soal Analisis Real Bartle Bagian 2.3 yang terkait dengan Sifat Kelengkapan Bilangan Real. Materi tersebut meliputi supremum dan infimum suatu himpunan. Soal-soal berikut diambil dari buku “Introduction to Real Analysis” oleh Robert G.Bartle dan Donald R. Sherbert. Untuk membuat Anda lebih mudah memahami pembahasan berikut, Anda sebaiknya terlebih dahulu membaca materinya di buku tersebut.
***Selamat Menikmati***
Soal 1
Misalkan $S_1 := \{ x\in \mathbb{R} : x \geq 0\}.$ Buktikan bahwa himpunan $S_1$ memiliki batas bawah, tetapi tidak memiliki batas atas. Buktikan bahwa $ \inf S_1 = 0$
Jawab. Misalkan $x \in S_1,$ maka $x \geq 0.$ Dari sini, $0$ adalah batas bawah dari $0. $ Kemudian, akan ditunjukkan bahwa $S_1$ tidak terbatas di atas dengan menggunakan metode kontadiksi. Untuk itu, andaikan bahwa $S_1$ terbatas di atas, maka terdapat $M > 0$ sedemikian sehingga $x < M$ untuk setiap $x \in S_1.$ Perhatikan bahwa $ M + 1 > 0.$ Sehingga, $M+1 > 0$ ada di $S_1$ dengan $M < M+1.$ Hal tersebut tidak mungkin karena bertentangan dengan $x < M$ untuk setiap $x \in S_1.$ Oleh karena itu, $S_1$ tidak terbatas di atas yang berakibat bahwa $S_1$ tidak mempunyai batas.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa $\inf S_1 = 0.$ Karena $0$ adalah batas bawah dari $S_1,$ maka berdasarkan definisi infimum, cukup ditunjukkan bahwa untuk $t$ adalah sebarang batas bawah dari $S_1$ berlaku $t \leq 0.$ Untuk itu, misal $t$ sebarang batas bawah dari $S_1.$ Andaikan bahwa $t > 0.$ Perhatikan bahwa $0 < \frac{t}{2} < t$. Sehingga, $t/2$ merupakan anggota dari $S_1$ dengan $t/2 < t. $Hal ini tidak mungkin karena $t$ adalah batas bawah dari $S_1.$ Oleh karena itu, pengandaian salah dan haruslah $t \leq 0.$ Jadi, $\inf S_1 =0.$
Baca Juga:
Kumpulan Pembahasan Soal Analisis Real Buku Bartle
Kumpulan Pembahasan Soal KNMIPA
Daily Math Problem
Soal 2
Misalkan $S_2 = \{ x \in \mathbb{R} : x > 0 \}.$ Apakah $S_2$ mempunyai batas bawah? Apakah $S_2$ mempunyai batas atas? Apakah $\inf S_2$ ada? Apakah $\sup S_2$ ada? Buktikan pertanyaan Anda.
Jawab. Kita akan menggunakan argumen yang sama seperti sebelumnya. Misalkan $x \in S_2,$ maka $x > 0.$ Dari sini, $0$ adalah batas bawah dari $0. $ Kemudian, akan ditunjukkan bahwa $S_1$ tidak terbatas di atas dengan menggunakan metode kontadiksi. Untuk itu, andaikan bahwa $S_2$ terbatas di atas, maka terdapat $M > 0$ sedemikian sehingga $x < M$ untuk setiap $x \in S_2.$ Perhatikan bahwa $ M + 1 > 0.$ Sehingga, $M+1 > 0$ ada di $S_2$ dengan $M < M+1.$ Hal tersebut tidak mungkin karena bertentangan dengan $x < M$ untuk setiap $x \in S_2.$ Oleh karena itu, $S_2$ tidak terbatas di atas yang berakibat bahwa $S_2$ tidak mempunyai batas.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa $\inf S_2 = 0.$ Karena $0$ adalah batas bawah dari $S_2,$ maka berdasarkan definisi infimum, cukup ditunjukkan bahwa untuk $t$ adalah sebarang batas bawah dari $S_2$ berlaku $t > 0.$ Untuk itu, misal $t$ sebarang batas bawah dari $S_2.$ Andaikan bahwa $t > 0.$ Perhatikan bahwa $0 < \frac{t}{2} < t$. Sehingga, $t/2$ merupakan anggota dari $S_1$ dengan $t/2 < t. $Hal ini tidak mungkin karena $t$ adalah batas bawah dari $S_1.$ Oleh karena itu, pengandaian salah dan haruslah $t \geq 0.$ Jadi, $\inf S_2 =0.$
Soal 3
Misalkan $S_3 = \{ 1/n : n \in \mathbb{N} \}.$ Buktikan bahwa $\sup S_3 = 1$ dan $\inf S_3 \geq 0.$
Jawab. Karena $n \geq 1$ untuk setiap bilangan asli $n,$ maka $$\frac{1}{n} \leq 1, n \in \mathbb{N} $$yang berakibat bahwa $1$ adalah batas atas dari $S_3.$ Akan ditunjukkan bahwa $1$ adalah supremum dari $S_3$ dengan menggunakan lema 2.3.4. Untuk itu, diberikan sebarang $\varepsilon > 0.$ Karena $1 \in S_3,$ maka dapat dipilih $s_\varepsilon = 1.$ Dari sini, $$1 – \varepsilon < 1 = s_\varepsilon $$Sehinggga, berdasarkan lema 2.3.4, $1 = \sup S_3.$
Kemudian akan ditunjukkan bahwa $\inf S_3 \geq 0.$ Sebelumnya perhatikan bahwa karena $n >0$ untuk $n \in \mathbb{N},$ maka haruslah $$0 < \frac{1}{n} $$untuk setiap bilangan asli $n.$ Sehingga, $0$ adalah batas bawah dari $S_3.$ Karena $\inf S_3$ adalah batas bawah terbesar dan $0$ adalah batas bawah dari $S_3,$ maka haruslah $\inf S_3 \geq 0.$
Jadi, $\sup S_3 = 1$ dan $\inf S_3 \geq 0.$
Soal 4
Misalkan $$S_4 = \{ 1-\frac{(-1)^n}{n} : n \in \mathbb{N} \} $$Tentukan $\inf S_4$ dan $\sup S_4. $
Jawab. Misalkan bilangan asli $n$ dan $x_n = 1-\frac{(-1)^n}{n} \in S_4.$Perhatikan bahwa untuk $n$ genap, maka $n = 2, 4, …$ dan $$ x_n = 1-\frac{(-1)^n}{n} = 1 – 1\frac{1}{n} $$Sehingga, $$\frac{1}{2} \leq x_n < 1 $$Selain itu, jika $n$ ganjil, maka $n =1, 3, …$ dan $$ x_n = 1-\frac{(-1)^n}{n} = 1 + 1\frac{1}{n} $$Sehingga, $$1 < x_n \leq 2 $$Oleh karena itu, $$\frac{1}{2} \leq x _n \leq 2 $$untuk setiap bilangan asli $n.$ Dari sini, $1/2$ adalah batas bawah dari $S_4$ dan $2$ adalah batas atas dari $S_4.$ Perhatikan juga bahwa $S_4$ memuat $1/2$ dan $2$, yaitu masing-masing $n = 2$ dan $n = 1.$ Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa $1/2$ dan $2$ masing-masing adalah infimum dan supremum dari $S_4.$
Perhatikan bahwa jika $t$ adalah batas bawah yang lain dari $S_4, $maka haruslah $t \leq x$ untuk setiap $x \in S_4.$ Karena $1/2 \in S_4,$ maka haruslah $t \leq 1/2.$ Dari sini, $1/2$ adalah infimum dari $S_4$ berdasarkan definisi dari infimum. Selain itu, jika $u$ adalah batas bawah dari $S_4,$ maka haruslah $u \geq x$ untuk setiap $x \in S_4.$ Karena $2 \in S_4,$ maka haruslah $u \geq 2.$ Dari sini, $2$ adalah supremum dari $S_4$ berdasarkan definisi dari supremum.
Jadi, $\inf S_4$ dan $\sup S_4$ masing-masing adalah $1/2$ dan $2.$
Soal 5
Tentukan infimum dan supremum, jika ada, dari setiap himpunan-himpunan berikut.
(a). $A := \{ x \in \mathbb{R} : 2x + 5 > 0 \}$
(b). $B := \{ x \in \mathbb{R} : x+2 \geq x^2\}$
(b). $B := \{ x \in \mathbb{R} : x < 1/x\}$
(b). $B := \{ x \in \mathbb{R} : x^2 -2x -5 < 0\}$
Jawab.
(a). Misal $x \in A,$ maka $$\begin{aligned} 2x + 5 &> 0 \\ 2x &> -5 \\ x &> -\frac{5}{2}\end{aligned} $$Dari sini, infimum dari $A$ adalah $-5/2$ dan supremumnya tidak ada.
(b). Misal $x \in B,$ maka $$\begin{aligned} x + 2 & \geq x^2 \\ x^2 – x – 2 & \leq 0 \\ (x-2)(x+1) & \leq 0 \\ -1 \leq & x \leq 2 \end{aligned} $$Dari sini, infimum dari $B$ adalah $-1$ dan supremumnya adalah $2.$
(c). Misal $x \in C,$ maka $$ x < \frac{1}{x} $$Jika $x>0,$ maka $$x^2 < 1 $$dan $$-1 < x <1$$ Sehingga, $$0 < x < 1 $$Jika $x<0,$ maka $$x^2 > 1 $$dan $$x < -1 \text{ atau } x > 1 $$Sehingga, haruslah $x < -1.$ Dari kedua kasus tersebut, diperoleh bahwa $x < -1$ atau $0 < x < 1, $ yaitu $$ (-\infty, -1) \cup (0, 1) $$Dari sini, infimum dari $C$ tidak dan supremumnya adalah 1.
(d). Misal $x \in D,$ maka $$\begin{aligned} x^2 – 2x -5 & < 0 \\ \left(x – \frac{2 + \sqrt{24}}{2} \right) \left(x – \frac{2 – \sqrt{24}}{2} \right) & < 0 \\ \left( \frac{2 – \sqrt{24}}{2}, \frac{2 + \sqrt{24}}{2} \right) \end{aligned} $$Dari sini, infimum dari $D$ adalah $\frac{2 – \sqrt{24}}{2} = 1 – \sqrt{6}$ dan supremumnya adalah $\frac{2 + \sqrt{24}}{2} = 1+ \sqrt{6}.$
Soal 6
Misalkan $S$ adalah subset tak kosong dari $\mathbb{R}$ yang terbatas di bawah. Buktikan bahwa $$\inf S = – \sup \{-s : S\}$$
Jawab. Misalkan $$T := \{-s : S\} $$Akan ditunjukkan bahwa $$\inf S = – \sup \{-s : S\} $$Karena $S$ terbatas di bawah, maka S memiliki infimum. Misalkan $u$ adalah infimum dari $S.$ Maka, $$u \leq s, s \in S $$Dari sini, $$ -s \leq -u, s\in S $$Sehingga, $-u$ adalah batas atas dari $T.$ Diberikan sebarang batas atas $t$ dari $T.$ Maka, $$-s \leq t $$untuk setiap $s \in S.$ Dari sini, $$-t \leq s $$untuk setiap $s \in S.$ Denga kata lain, $-t$ adalah batas bawah dari $S.$ Karena $u$ adalah infimum dari $S$ (batas bawah terbesar dari $S$), maka haruslah $-t \leq u.$ Sehingga, $-u \leq t.$ Dari sini, $-u$ adalah batas atas terkecil dari $T.$ Jadi, $$-u = \sup T $$dan $$\inf S = – \sup \{-s : S\}$$
Soal 7
Jika $S \subseteq \mathbb{R},$ memuat salah satu batas atasnya, tunjukkan bahwa batas atas ini adalah supremumnya.
Jawab. Asumsikan bahwa $S \subseteq \mathbb{R},$ memuat salah satu batas atasnya, misalkan $s^*.$ Diberikan sebarang $\varepsilon > 0, $maka $s^* \in S$ dengan $$s^* – \varepsilon < s^* $$Oleh karena itu, dengan lemma 2.3.4 (silahkan lihat buku rujukan) diperoleh bahwa $s^*$ adalah supremum dari $S.$
Soal 8
Misalkan $s \subseteq \mathbb{}R$ tak kosong. Tunjukkan bahwa $u \in \mathbb{R}$ adalah batas atas dari $S$ jika dan hanya jika kondisi $t \in \mathbb{R}$ dan $t >u $mengimplikasikan bahwa $t \notin S.$
Jawab. Terlebih dahulu asumsikan bahwa $u \in \mathbb{R}$ adalah batas atas dari $S.$ Maka, $t \leq u $ untuk setiap $t \in S.$ Misalkan $t \in \mathbb{R}$ dengan $t >u.$ Andaikan bahwa $t \in S.$ Maka, haruslah $t \leq u$ karena $u$ adalah batas atas $S.$ Sehingga, $t > u$ dan $t \leq u.$ Hal tersebut tidaklah mungkin terjadi, sehingga pengandaian salah. Jadi, $t \notin S$ dan kondisi $t \in \mathbb{R}$ dan $t >u $mengimplikasikan bahwa $t \notin S.$
Sebaliknya, asumsikan bahwa kondisi $t \in \mathbb{R}$ dan $t >u $mengimplikasikan bahwa $t \notin S.$ Dari sini, kontraposisinya juga benar, sehingga jika $t \in \mathbb{R}$ dan $t \in S,$ maka $t \leq u $Dengan kata lain, $u$ adalah batas atas dari $S.$
Jadi, $u \in \mathbb{R}$ adalah batas atas dari $S$ jika dan hanya jika kondisi $t \in \mathbb{R}$ dan $t >u $mengimplikasikan bahwa $t \notin S.$
Soal 9
Misalkan $S \subseteq \mathbb{R}$ tak kosong. Tunjukkan bahwa jika $u = \sup S,$ maka untuk setiap $n \in \mathbb{N},$ $u – \frac{1}{n}$ bukanlah batas atas dari $S,$ tapi $u + \frac{1}{n}$ adalah batas atas dari $S.$
Jawab. Asumsikan bahwa $u = \sup S.$ Maka, berdasarkan lema 2.4.3, terdapat $u_n \in S$ sedemikian sehingga $$u – \frac{1}{n} < u_n $$Dari sini, $u – \frac{1}{n}$ bukan atas atas karena ada anggota dari $S,$ yaitu $u_n,$ sedemikian sehingga $ u – 1/n < u_n.$
Kemudian, karena, $u$ adalah supremum, maka $$s \leq u $$untuk setiap $s \in S.$ Karena $$u < u + \frac{1}{n} $$untuk setiap bilangan asli $n,$ maka $$s \leq u + \frac{1}{n}$$untuk setiap $s \in S.$ Dari sini, untuk setiap bilangan asli $n,$ $ u + \frac{1}{n}$ adalah batas dari $S.$
Jadi, untuk setiap $n \in \mathbb{N},$ $u – \frac{1}{n}$ bukanlah batas atas dari $S,$ tapi $u + \frac{1}{n}$ adalah batas atas dari $S.$
Soal 10
Tunjukkan bahwa jika $A$ dan $B$ adalah subset terbatas dari $\mathbb{R},$ maka $A \cup B$ terbatas. Buktikan bahwa $\sup (A \cup B) = \sup (\sup A, \sup B).$
Jawab. Asumsikan bahwa $A$ dan $B$ adalah subset terbatas dari $\mathbb{R}.$ Maka, ada $a_1, a_2, b_1, b_2 \in \mathbb{R}$ sedemikian sehingga $$a_1 \leq a \leq a_2 $$untuk setiap $a \in A$ dan $$b_1 \leq b \leq b_2 $$untuk setiap $b \in B.$ Didefinisikan $c = \min \{a_1, b_1\}$ dan $d = \max \{ a_2, b_2 \}.$
Misalkan $x \in A \cup B,$ maka $x \in A$ atau $x \in B.$ Jika $x \in A,$ maka $$c \leq a_1 \leq x \leq a_2 \leq d $$Jika $x \in B,$ maka $$c \leq b_1 \leq x \leq b_2 \leq d $$Oleh karena itu, $$c \leq x \leq d $$untuk setiap $x \in A \cup B.$ Sehingga, $A \cup B$ terbatas.
Karena $A \cup B$ terbatas, maka supremum dari $A \cup B$ ada. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa $\sup (A \cup B) = \sup (\sup A, \sup B).$ Misalkan $u = \sup (\sup A, \sup B). $Dari sini, $$a \leq \sup A \leq u $$dan $$b \leq \sup B \leq u $$untuk setiap $a \in A$ serta $b \in B.$ Dengan kata lain, $$x \leq u $$untuk setiap $x \in A \cup B.$ Dari sini, $u $adalah batas atas dari $ A \cup B.$
Misalkan $v$ adalah sebarang atas atas lain dari $A \cup B.$ Maka, $x \in v$ untuk setiap $x \in A \cup B.$ Sehingga, $a \leq v$ untuk setiap $a \in A$ dan $b \leq v$ untuk setiap $b \in B.$ Dari sini, $v$ batas dari $A$ dan $v$ batas atas dari $B.$ Oleh karena itu, $\sup A \leq v$ dan $\sup B \leq v.$ Sehingga, $\sup \{ \sup A, \sup B\} \leq v$ dan $u \leq v.$
Akibatnya, jika $v $adalah batas dari $A \cup B,$ maka $u \leq v.$ Dengan kata lain, $u$ adalah batas atas terkecil dari $A \cup B.$ Sehingga $$u = \sup A \cup B $$ dan $$\sup A \cup B = \sup \{ \sup A, \sup B\}$$ Jadi, diperoleh bahwa $A \cup B$ terbatas dan $$\sup (A \cup B) = \sup (\sup A, \sup B)$$
Demikian pembahasan kali ini tentang Pembahasan Soal Analisis Real Bartle Bagian 2.3 terkait dengan Sifat Kelengkapan Bilangan Real terutama mengenai Supremum dan Infimum. Pembahasan ini merupakan bagian dari topik Analisis Real, terutama Pembahasan Soal Analisis Real buku karangan Bartle dan Sherbert. Jika Anda tertarik dengan pembahasan soal bagian lainnya dari buku tersebut, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
