Last Updated on November 12, 2024 by prooffic
Pada kesempatan kali ini kita akan menyajikan tentang pembahasan soal knmipa 2021 tingkat wilayah analisis kompleks. Soal knmipa 2021 tingkat wilayah analisis kompleks terdiri dari dua bagian, yaitu isian singkat dan uraian. Pembahasan kali ini melibatkan tentang materi penyajian/representasi bilangan kompleks dan modulus bilangan kompleks, persamaan cauchy-riemann dan fungsi analitik, dan pemetaan mobius.
**Selamat menikmati**
Isian singkat
Soal 1
Jika $a$ dan $b$ merupakan bilangan real dengan $0<a<b<2 \pi$ yang memenuhi persamaan $e^{ai}+e^{bi}=i \sqrt{2},$ maka nilai dari $\frac{b}{a}$ adalah …
Jawab: Dengan representasi bilangan kompleks, maka dari persamaan $e^{ai}+e^{bi}=i \sqrt{2},$ diperoleh bahwa $$(\cos a +i \sin a)+(\cos b+ i \sin b) = i \sqrt{2}$$Sehingga, $$\cos a + \cos b = 0 \cdots (1) $$dan $$\sin a +\sin b = \sqrt{2} \cdots (2) $$Kita akan menyelesaikan persamaan tersebut untuk $0<a<b<2 \pi$
Dari $\cos a +\cos b = 0,$ diperoleh bahwa $\cos b = – \cos a = \cos (\pi -a)$ yang berakibat bahwa $$b = \pi -a +2 \pi k, k \in \mathbb{Z} $$atau$$b = a-\pi + 2 \pi k = a+(2k – 1) \pi, k \in \mathbb{Z} $$Selanjutnya, subtitusi $b$ ke ruasi kiri dari persamaan (2), maka diperoleh bahwa
- Untuk kemungkinan pertama, $$\begin{aligned}\sin a + \sin b &= \sin a +\sin (\pi -a +2 \pi k) \\ &= \sin a + \sin ((2k+1)\pi – a) \\ &= \sin a+\sin a \\ &= 2 \sin a\end{aligned}$$
- Untuk kemungkinan kedua, $$\begin{aligned}\sin a + \sin b &= \sin a +\sin (a – \pi +2 \pi k) \\ &= \sin a + \sin ((2 k -1) \pi – (-a)) \\&= \sin a -\sin a \\&= 0 \end{aligned}$$
Akibatnya, yang mungkin hanyalah kemungkinan pertama. Dari kemungkina pertama tersebut, diperoleh bahwa $2 \sin a = \sqrt{2}$ dan $$\sin a = \frac{1}{2} \sqrt{2} = \sin \frac{\pi}{4}$$Akibatnya, $$a = \frac{\pi}{4} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$$atau $$a = \frac{3\pi}{4}+2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$$Karena $0<a<2 \pi,$ maka haruslah $a = \pi / 4$ atau $a = 3\pi / 4.$
Jika $a = \pi /4,$ maka $$ \begin{aligned}b &= \pi – a + 2\pi k \\ &= \pi – \pi/4 +2 \pi k \\&=3\pi /4 + 2 \pi k \end{aligned}$$Karena $0<b<2 \pi,$ maka haruslah $k=0$ dan akibatnya $b = 3 \pi /4.$ Sedangkan, jika $a = 3 \pi,$ maka $$\begin{aligned} b &= \pi – a + 2 \pi k \\ &= \pi – 3 \pi /4 + 2\pi k \\ &= \pi /4 \end{aligned}$$Karena $0<b<2 \pi,$ maka haruslah $k = 0$ dan akibatnya $b = \pi /4.$ Kemudian, karena dipersyaratkan bahwa $a<b,$ maka yang mungkin adalah $a = \pi /4, b = 3 \pi /4.$ Oleh karena itu, $$\frac{b}{a} = \frac{3 \pi /4}{\pi /4} =3$$
Soal 2
Fungsi kompleks $f(z) = \frac{1}{z}$ memetakan garis $\Re (z) = \frac{1}{4}$ ke lingkarang dengan jari-jari …
Jawab: Perhatikan bahwa kurva dengan persamaan $$A+Bx-Cy=D(x^2+y^2)$$dipetakan ke kurva dengan persamaan$$A(x^2+y^2)+Bx+Cy=D$$Sehingga, dari soal tersebut, kita terlebih dahulu mengubah garis $\Re (z) = \frac{1}{4}$ ke bentuk persamaan dalam $x$ dan $y.$ Perhatikan bahwa persamaan yang dimaksud adalah $x = \Re (z) = \frac{1}{4}.$ Dari sini, $A = -\frac{1}{4}, B = 1, C = 0$, dan $D = 0.$
Dengan pemetaan $f(z) = \frac{1}{z}$ terhadap garis tersebut, akan diperoleh lingkaran dengan persamaan $$\begin {aligned}(-1)(x^2+y^2) + (1) x + 0 \cdot y &= 0 \\ x^2+y^2 -x &=0 \\ \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + y^2 & =\frac{1}{4}\end{aligned}$$Sehingga diperoleh lingkaran yang berjari-jari $\frac{1}{4}.$
Baca Juga:
1. Pembahasan KNMIPA Tingkat Wilayah 2021 Analisis Real
2. Pembahasan KNMIPA 2020 Analisis Kompleks Uraian
3. Pembahasan KNMIPA 2020 Analisis Kompleks Isian
Uraian
Soal 1
Misalkan $A = \{z \in \mathbb{C}:|z|\leq 1\}$ dan $B=\{z=x+(4-2x)i:x\in \mathbb{R}\}.$ Jika $C = \{a-b : a\in A, b\in B\},$ maka tentukan $\inf \{|c|:c\in C\}$
Jawab: Perhatikan bahwa $A$ adalah daerah di dalam lingkaran termasuk lingkarannya dan $B$ adalah garis dengan persamaan $y=4-2x$ (gradiennya adalah $-2$). Selain itu, himpunan $C$ dapat diartikan sebagai vektor pada bidang kompleks dengan masing-masing ujung terletak di $A$ dan $B.$ Sehingga, $\inf \{|c|:c \in C\}$ pada dasarnya adalah nilai terkecil dari panjang vektor-vektor tersebut. Dapat pula diartikan sebagai jarak terpendek dari titik-titik pada $A$ dan $B.$
Untuk memudahkan perhitungan, kita terlebih melihat gambar/representasi dari masing-masing himpunan tersebut.
Dengan sifat dari geometri analitik, maka jarak terdekat antara A dan B adalah sama dengan jarak dari garis B dengan garis singgung terdekat terhadap $A$ yang sejajar dengan $B.$ Jika $M$ adalah titik potong dari garis singgung $A$ (yang terdekat dan sejajar dengan $B$), maka jarak $A$ dan $B$ sama dengan jarak antara $B$ dan $M.$ Oleh karena itu, terlebih dahulu kita akan menentukan koordinat dari $M.$ Jelas bahwa ordinat dari $M$ adalah bilangan positif. Misal $M=(x_0, y_0)$
Gradien dari garis singgung lingkaran $x^2+y^2 = 1$ di titik $(x_0, y_0)$ adalah $$\frac{-x_0}{\sqrt{1-x_0^2}}$$Karena yang dicari adalah garis singgung yang sejajar dengan $B,$ maka dipersyaratkan bahwa gradien tersebut adalah $-2.$ Sehingga, $$\frac{-x_0}{\sqrt{1-x_0^2}} = -2$$Dengan menyelesaikan persamaan tersebut, diperoleh bahwa $x_0 = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}.$ Karena $x_0>0,$ maka haruslah $x_0 = \frac{2}{\sqrt{5}}.$
Dari sini, $$y_0 = \sqrt{1-x_0^2} = \sqrt{1-\frac{4}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$Sehingga, $M=\left(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right).$ Berdasarkan rumus jarak titik dan garis, maka jarak $M$ dan $B$ adalah $$\begin{aligned}\frac{|2x_0 + y_0-4|}{\sqrt{2^2+1^2}} &= \frac{|2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}}-4|}{\sqrt{5}} \\&= \frac{|5/\sqrt{5}-4|}{\sqrt{5}} \\&= \frac{|\sqrt{5}-4|}{\sqrt{5}} \\&= \frac{4-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}-1 \end{aligned}$$
Jadi, $\inf \{|c|:c\in C\} = \frac{4}{\sqrt{5}} – 1.$
Soal 2
Diketahui fungsi $f(z)$ analitik pada domain $D.$ Jika ada konstanta $c_1, c_2 \in \mathbb{C}$ yang tidak semuanya nol sehingga $c_1 f(z) + c_2 \overline{f(z)}= 0$ untuk setiap $z \in D,$ maka buktikan bahwa $f(z)$ adalah fungsi konstan pada $D$.
Jawab: Terlebih dahulu asumsikan bahwa salah satu $c_1$ atau $c_2$ adalah nol, maka tanpa mengurangi keumuman, misalkan $c_2 = 0.$ Dari sini, $c_1 f(z) = 0$ untuk setiap $z\in D.$ Karena $c_1 \neq 0,$ maka $f(z)=0$ untuk setiap $z \in D.$ Dari sini, $f$ konstan pada $D.$ Selanjutnya, asumsikan bahwa keduanya tidak nol, yaitu $c_1, c_2 \neq 0.$ Dengan asumsi-asumsi tersebut, kita akan tunjukkan bahwa $f$ adalah fungsi konstan.
Karena keduanya tidak nol, kita dapat misalkan $\alpha = \frac{c_1}{c_2}.$ Sehingga $$f(z) + \alpha \overline{f(z)} = 0$$untuk setiap $z \in D.$ Kemudian, tulis $f(z)$ dalam bentuk representasi bagian real dan imajinernya, yaitu $$f(z) = f(x+iy)=u(x,y)+i v(x,y)=u+iv,$$maka $$f(z) + \alpha \overline{f(z)} = 0 \Rightarrow (u+iv)+\alpha (u-iv) = 0$$Kemudian, tulis $\alpha = \alpha_1+i \alpha_2$ dengan $\alpha_1$ dan $\alpha_2$ adalah bilangan real. Jika $\alpha_2 = 0,$ maka jelas bahwa $f$ akan bernilai konstan. Sehingga, asumsikan bahwa $\alpha_2 \neq 0.$ Selanjutnya, $$\begin{aligned} 0& =(u+iv)+\alpha (u-iv)\\ &= (u+iv)+(\alpha_1 + i \alpha_2) (u-iv)\\ &= u+iv+(\alpha_1 u -\alpha_1 v i+\alpha_2 u i +\alpha_2 v)\\&=(1+\alpha_1)u+\alpha_2 v+ i((1-\alpha_1)v+\alpha_2 u) \end{aligned}$$Dari sini, $$(1+\alpha_1)u+\alpha_2 v=0 \cdots (1)$$dan$$(1-\alpha_1)v+\alpha_2 u = 0 \cdots (2)$$
Dengan mengambil turunan partial terhadap $x$ di kedua ruas pada persamaan (1), maka diperoleh $$(1+\alpha_1)u_x+\alpha_2 v_x=0 \cdots (3)$$Kemudian, dengan mengambil turunan partial terhadap $y$ di kedua ruas pada persamaan (2), maka diperoleh $$(1-\alpha_1)v_y+\alpha_2 u_y = 0 \cdots (4)$$Karena $f$ analitik, maka berdasarkan persamaan Cauchy-Riemann, $$u_x=v_y, u_y=-v_x \cdots (5)$$Sehingga, dari persamaan (3), (4) dan (5), diperoleh $$\begin{aligned} (1+\alpha_1)u_x+\alpha_2 v_x &=0 \\ (1-\alpha_1)u_x – \alpha_2 v_x &= 0 \end{aligned}$$Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut, diperoleh bahwa $u_x = 0 = v_y.$ Sehingga, jika mensubtitusikan $u_x = 0$ ke $(1+\alpha_1)u_x+\alpha_2 v_x =0,$ maka diperoleh bahwa $\alpha_2 v_x = 0.$ Karena $\alpha \neq 0,$ maka haruslah $v_x = 0$ yang berakibat bahwa $u_y = 0.$ Karena $u_x = v_x = u_y = v_y =0,$ maka haruslah $u$ dan $v$ adalah konstan yang berakibat bahwa $f$ adalah fungsi konstan pada $D.$
Dari penjelasan-penjelasan tersebut, dapat disimpulkan bahwa $f$ adalah fungsi konstan pada $D.$
Demikian postingan kali ini tentang pembahasan soal knmipa 2021 tingkat wilayah analisis kompleks. Jika Anda tertarik dengan soal dan pembahasan ONMIPA atau KNMIPA lainnya, silahkan mengunjungi link ini, tetapi jika Anda tertarik dengan topik ataupun materi lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
