Last Updated on Juli 6, 2021 by prooffic
Pada kesempatan kali ini, kita akan menyajikan materi mengenai pembahasan ONMIPA 2018 Aljabar Linear Tingkat Nasional Hari kedua. Materi ini menyangkut matriks, terutama matriks $2 \times 2,$ determinan dan trace suatu matriks. Selain itu, teorema tentang hubungan trace, nilai eigen dan perpangkatan matriks juga akan digunakan. Untuk itu, kita terlebih dahulu akan memberikan ulasan singkat mengenai materi-materi tersebut.
**Selamat menikmati**
Pendahuluan
Misalkan $A$ adalah sebarang matriks persegi dan $n$ adalah bilangan bulat positif. Matriks $A$ pangkat $2$ didefinisikan $$A^2 = A \cdot A $$Matriks $A$ pangkat $3$ didefinisikan $$A^3 = A^2 \cdot A$$Kemudian, secara induktif, didefinisikan $A$ pangkat $n$ dengan $$A^{n+1} = A^{n} \cdot A$$Selain itu, trace dari matriks $A$ adalah jumlah komponen-komponen yang terletak pada diagonal utamanya. Kemudian, nilai eigen dari matris $A$ adalah $\lambda$ yang memenuhi $$\det (A-\lambda I) = 0$$
Kita mempunyai hubungan nilai eigen, trace dan perpangkatan matriks sebagai berikut: Misalkan $A$ matriks persegi dengan $k$ adalah bilangan asli tak negatif. Jika $\lambda_1, …, \lambda_n$ adalah nilai-nilai eigen dari matriks tersebut, maka $$tr (A^k) = \sum_{i} \lambda_i ^k $$
Misalkan $A$ adalah matriks (entri real maupun kompleks) $2\times 2$ dengan $$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$Trace dari matriks $A$ adalah $a+d.$ Sedangkan determinant dari matriks tersebut adalah $$\det A=ad-bc$$yang dapat diturunkan langsung dari definisi determinan matriks.
Baca Juga:
1. Kumpulan Pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA Tingkat Nasional
2. Pembahasan ONMIPA 2018 dan Pembahasan KNMIPA 2021
3. Pembahasan ONMIPA/KNMIPA Aljabar Linear
Dengan menggunakan fakta-fakta tersebut, kita akan menyelesaikan soal ONIPA 2018 Aljabar Linear Tingkat Nasional Hari Kedua sebagai berikut.
Soal
Diberikan bilangan asli $n.$ Misalkan $$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2\times 2}$$dengan $\det (A) = a+d = 1.$ Jika $$A^n = \begin{pmatrix} a’ & b’ \\ c’ & d’ \end{pmatrix},$$ maka tentukanlah $a’+d’.$
Jawab
Terlebih dahulu kita akan menentukan nilai eigen dari matriks tersebut dengan menggunakan asumsi-asumsi yang ada. Misalkan $\lamba$ adalah nilai eigen yang akan dicari. Maka $$\begin{aligned} \det (A – \lambda I) &=0 \\ \det \left(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \right) &=0 \\ \det \left( \begin{pmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \end{pmatrix} \right) &= 0 \\ (a-\lambda)(d-\lambda)-bc &=0 \\ ad -(a+d) \lambda +\lambda^2-bc &=0 \\ \lambda^2 -(a+d) \lambda +ad – bc &=0 \end{aligned}$$
Dengan mensubtitusikan $ad-bc=\det (A) =a+d=1$ ke persamaan terakhir, maka diperoleh bahwa $$\lambda^2-\lambda+1 = 0 $$Jika kita menyelesaikan persamaan tersebut dalam $\lambda,$ maka diperoleh $$\lambda = \frac{1\pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$$dengan $i^2+1=0.$ Kemudian, tulis$$\begin{aligned}\lambda_1 &=\frac{1+ i\sqrt{3}}{2}=e^{i\pi/3} \\ \lambda_2& =\frac{1- i\sqrt{3}}{2} = e^{i5\pi/3} \end{aligned}$$Sehingga, $$\begin{aligned}\lambda_1^n &=e^{\pi n i/3} \\ \lambda_2^n & =e^{5\pi n i /3} \end{aligned}$$
Kemudian, perhatikan bahwa $$\begin{aligned}a’+d’&=tr(A^n) \\ &=\sum_i \lambda_i^n \\ &= \lambda_1^n +\lambda_2^n\\ &= e^{\pi n i/3} +e^{5 \pi n i/3} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $a’+d’$ adalah $$a’+d’=e^{\pi n i/3} +e^{5 \pi n i/3}$$
Demikian postingan kali ini mengenai pembahasan ONMIPA 2018 Aljabar Linear Tingkat Nasional Hari kedua. Semoga membantu. Jika Anda tertarik dengan pembahasan soal ONMIPA/KNMIPA, silahkan kunjungi link ini. Jika Anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Sekian dan terima kasih.
