Last Updated on Oktober 4, 2023 by prooffic
Postingan kali ini akan menyajikan tentang Pembahasan Soal Analisis Real Bagian 4.1 Definisi Limit Fungsi. Soal-soal yang disajikan diambil dari buku “Introduction to Real Analysis” oleh Robert G. Bartle & Donald R. Sherbert. Agar lebih mudah dalam memahami postingan berikut, ada baiknya jika Anda terlebih dahulu membaca mengenai materi di buku tersebut terutama bagian 4.1 tentang Definisi limit fungsi. Jika Anda memiliki pertanyaan, silahkan hubungi kami dengan email ke proofficialid@gmail.com
**Selamat menikmati**
Definisi Limit Fungsi
Berikut ini adalah definisi dari limit fungsi. Misalkan $f$ adalah fungsi bernilai real yang didefiniskan pada $A \subseteq \mathbb{R}$ dan misalkan $c$ adalah titik limit dari $A$. Fungsi $f$ dikatakan memiliki limit di $c$ jika ada $L \in \mathbb{R}$ sedemikian sehingga untuk setiap $\varepsilon$ terdapat $\delta>0$ yang memenuhi bahwa jika $x \in A$ dan $0<|x-c|<\delta$ maka $|f(x) – L|<\varepsilon$
Baca Juga: Pembahasan Soal Analisis Real Bagian 4.2: Teorema-teorema Limit
$L$ pada definisi tersebut disebut sebagai limit dari $f$ di $c$ dan dinotasikan sebagai $$\lim_{x \to c} f(x) = L $$
Pembahasan Soal
Berikut ini adalah Pembahasan Soal Analisis Real Bagian 4.1 Definisi Limit Fungsi.
Soal 1
Tentukan syarat pada $|x-1|$ yang menjamin bahwa:
a) $|x^2 – 1|< \frac{1}{2}$
b) $|x^2 – 1|< 10^{-3}$
c) $|x^2 – 1|<1/n$ untuk $n \in \mathbb{N}$ diberikan
d) $|x^3 – 1|<1/n$ untuk $n \in \mathbb{N}$ diberikan
Jawab.
Proses penentuan syarat tersebut pada dasarnya sama seperti menentukan nilai $\delta$ pada pembuktian limit fungsi menggunakan definisi, yaitu menetapkan terlebih dahulu bahwa $\delta = 1$. Prosedur berikut mengikuti proses penentuan $\delta$ pada pembuktian limit fungsi.
a) Terlebih dahulu asumsikan bahwa $$|x-1|\leq 1 $$maka $$|x+1| = |x-1 + 2| \leq |x-1|+2 \leq 1 + 2 = 3 $$Dari sini, $$|x^2 – 1| = |x-1||x+1| \leq 3 |x-1| $$Oleh karena itu, dipilih $|x-1|<\frac{1}{6}$. Sehingga, $|x-1|<\frac{1}{6} \leq 1 $ yang berkibat $$|x+1| = |x-1 + 2| \leq |x-1|+2 \leq 1 + 2 = 3 $$dan $$|x^2 – 1| = |x-1||x+1| \leq 3 |x-1| < 3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$$
b) Terlebih dahulu asumsikan bahwa $$|x-1|\leq 1 $$maka $$|x+1| = |x-1 + 2| \leq |x-1|+2 \leq 1 + 2 = 3 $$Dari sini, $$|x^2 – 1| = |x-1||x+1| \leq 3 |x-1| $$Oleh karena itu, dipilih $|x-1|<\frac{1}{3} \cdot 10^{-3}$. Sehingga, $|x-1| <\frac{1}{3} \leq 1 $ yang berkibat $$|x+1| = |x-1 + 2| \leq |x-1|+2 \leq 1 + 2 = 3 $$dan $$|x^2 – 1| = |x-1||x+1| \leq 3 |x-1| < 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot 10^{-3} = 10^{-3}$$
c) Terlebih dahulu asumsikan bahwa $$|x-1|\leq 2 $$maka $$|x+1| = |x-1 + 2| \leq |x-1|+2 \leq 2 + 2 = 4 $$Dari sini, $$|x^2 – 1| = |x-1||x+1| \leq 4 |x-1| $$Oleh karena itu, dipilih $|x-1|<\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{n}$. Sehingga, $|x-1| < \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{n}\leq 1 $ yang berkibat $$|x+1| = |x-1 + 2| \leq |x-1|+2 \leq 2 + 2 = 4 $$dan $$|x^2 – 1| = |x-1||x+1| \leq 4 |x-1| < 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n}$$
d) Terlebih dahulu asumsikan bahwa $$|x-1|\leq 2 $$maka $$|x| = |x-1 + 1| \leq |x-1|+1 \leq 2 + 1 = 3 $$dan $$|x^2+x+1| \leq |x^2| + |x| + 1 = |x|^2 + |x|+1 \leq 3^2 + 3 + 1 = 13$$Dari sini, $$|x^3 – 1| = |x-1||x^2+x+1| \leq 9 |x-1| $$Oleh karena itu, dipilih $|x-1|<\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{n}$. Sehingga, $|x-1| <\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{n} < 1 $ yang berkibat $$|x| = |x-1 + 1| \leq |x-1|+1 \leq 2 + 1 = 3 $$dan $$|x^2+x+1| \leq |x^2| + |x| + 1 = |x|^2 + |x|+1 \leq 3^2 + 3 + 1 = 13$$serta $$|x^3 – 1| = |x-1||x^2+x+1| \leq 9 |x-1| \leq 9 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n}$$
Soal 2
Tentukan kondisi pada $|x-4|$ yang menjamin bahwa:
a) $|\sqrt{x} – 2|<\frac{1}{2}$
b) $|\sqrt{x} – 2|<10^{-2}$
Jawab. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \sqrt{x} – 2 &= (\sqrt{x} – 2) \cdot \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2} \\ &= \frac{x – 4}{\sqrt{x}+2} \end{aligned}$$yang berakibat bahwa $$\begin{aligned} |\sqrt{x} – 2| &= \left| \frac{x – 4}{\sqrt{x}+2} \right| \\ &= \frac{1}{\sqrt{x}+2} |x-2| \\ &\leq \frac{1}{2} \cdot |x-4| \end{aligned}$$
Oleh karena itu,
a) Pilih $|x-4|<1$, maka $$|\sqrt{x}-2| \leq \frac{1}{2} \cdot |x-4| <\frac{1}{2}$$
b) Pilih $|x-4|<2 \cdot 10^{-2}$, maka $$\begin{aligned} |\sqrt{x}-2| &\leq \frac{1}{2} \cdot |x-4| \\& <\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 10^{-2} \\ & = 10^{-2} \end{aligned}$$
Soal 3
Misalkan $c$ adalah titik limit dari $c \in \mathbb{R}$ dan misalkan $f: A \to \mathbb{R}$. Buktikan bahwa $\lim_{x \to c} f(x) =L $ jika dan hanya jika $\lim_{x \to c} |f(x) – L| = 0.$
Jawab. Terlebih dahulu asumsikan bahwa $\lim_{x \to c} f(x) =L $ dan diberikan $\varepsilon>0$ sebarang. Maka, terdapat $\delta>0$ sedemikian sehingga untuk $x\in A$ dengan $0<|x-c|<\delta$ berlaku $|f(x)-L|<\varepsilon$.
Perhatikan bahwa $$||f(x)-L|-0| = |f(x)-L|<\varepsilon $$Oleh karena itu, berdasarkan definisi limit fungsi diperoleh bahwa $\lim_{x \to c} |f(x) – L| = 0.$
Sebaliknya, asumsikan bahwa $\lim_{x \to c} |f(x) – L| = 0.$ Diberikan sebarang $\varepsilon>0$. Maka, terdapat $\delta>0$ sedemikian sehingga untuk $x \in A$ dengan $0<|x-c|<\delta$ berlaku $||f(x)-L|-0|<\varepsilon$.
Perhatikan bahwa $$|f(x)-L| = ||f(x)-L|-0|<\varepsilon $$Oleh karena itu, berdasarkan definisi limit fungsi diperoleh bahwa $\lim_{x \to c} f(x) =L $
Jadi, $\lim_{x \to c} f(x) =L $ jika dan hanya jika $\lim_{x \to c} |f(x) – L| = 0.$
Soal 4
Misalkan $f := \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dan $c \in \mathbb{R}$. Tunjukkan bahwa $\lim_{x \to c} f(x) = L$ jika dan hanya jika $\lim_{x \to 0} f(x+c) = L$.
Bukti. Terlebih dahulu asumsikan bahwa $\lim_{x \to c} f(x) = L$. Diberikan sebarang $\varepsilon>0$. Maka, terdapat $\delta>0$ sedemikian sehingga untuk $x \in \mathbb{R}$ dengan $|x-c|<\delta$ berlaku $|f(x) – L|<\varepsilon$.
Misalkan bahwa $x \in \mathbb{R}$ dengan $0<|x|<\delta$. Maka, $$0<|x| = | \textbf{x+c}-c|<\delta $$Sehingga, berdasarkan sifat $\delta$ sebelumnya, diperoleh bahwa $$| f(\textbf{x+c}) – L| <\varepsilon $$Oleh karena itu, berdasarkan definisi limit fungsi diperoleh bahwa $\lim_{x \to 0} f(x+c) = L$
Sebaliknya, asumsikan bahwa $\lim_{x \to 0} f(x+c) = L$. Diberikan sebarang $\varepsilon > 0$. Maka, terdapat $\delta>0$ sedemikian sehingga untuk $x \in \mathbb{R}$ dengan $0<|x|<\delta$ berlaku bahwa $|f(x+c) – L| <\varepsilon$.
Diberikan $x \in \mathbb{R}$ dengan $0<|\textbf{x-c}|<\delta$. Berdasarkan sifat $\delta$ sebelumnya, diperoleh bahwa $$|f((\textbf{x-c})+c)| < \varepsilon $$Dari sini, $$|f(x) – L| = |f((\textbf{x-c})+c)| < \varepsilon $$
Sehigga, dengan definisi limit fungsi, diperoleh bahwa $\lim_{x \to c} f(x) = L$. Jadi, $\lim_{x \to c} f(x) = L$ jika dan hanya jika $\lim_{x \to 0} f(x+c) = L$
Soal 5
Misalkan $I := (0,a)$ dengan $a>0$, dan misalkan $g(x) := x^2 $ untuk semua $x \in I.$ Untuk sebarang titik $x, c \in I$, tunjukkan bahwa $$|g(x) – c^2| \leq 2a |x-c| $$Gunakan ketaksamaan ini untuk membuktikan bahwa $\lim_{x \to c} x^2 = c^2$ untuk sebarang $c \in I.$
Bukti. Terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa $$|g(x) – c^2| \leq 2a |x-c| $$untuk sebarang titik $x, c \in I$. Misalkan $x, c \in I$. Maka, $|x|, |c| \leq a$. Perhatikan bahwa dengan ketaksamaan segitiga diperoleh bahwa $$\begin{aligned} |g(x) – c^2| &= |x^2 – c^2| \\ &=|x-c||x+c| \\ & \leq (|x|+|c|) |x-c| \\& \leq (2a)|x-c| \end{aligned} $$
Oleh karena itu, $$|g(x) – c^2| \leq 2a |x-c| $$untuk sebarang $x, c \in I$. Kemudian, misalkan $c\in I$ dan diberikan sebarang $\varepsilon>0$. Pilih $\delta = \frac{\varepsilon}{2a}$.
Sehingga, untuk $x \in I$ dengan $|x-c|<\delta$, berdasarkan hasil sebelumnya diperoleh bahwa $$|x^2 – c^2| = |g(x) – c^2| \leq 2a |x-c| = 2a \cdot \frac{\varepsilon}{2a+1} < \varepsilon $$Dari sini, berdasarkan definisi limit fungsi, $\lim_{x \to c} x^2 = c^2$ untuk sebarang $c \in I.$
Soal 6
Misalkan $I$ interval di $\mathbb{R}$, misalkan $f : I \to \mathbb{R}$ dan $c \in I$. Asumsikan bahwa ada konstanta $K$ dan $L$ sedemikian sehingga $|f(x) – L| \leq K |x-c|$ untuk semua $x\in I$. Tunjukkan bahwa $\lim_{x \to c} f(x) = L$.
Bukti. Dari asumsi tersebut, dapat dilihat bahwa $K\geq 0$. Diberikan sebarang $\varepsilon>0$. Didefinisikan $$\delta = \frac{1}{1+k} \varepsilon$$
Maka, untuk $x \in I$ dan $0<|x-c|<\delta$ berlaku $$\begin{aligned} |f(x) – L| & \leq K |x-c| \\ & <K \delta \\ & = K \cdot \frac{1}{1+K} \varepsilon \\ & <\varepsilon \end{aligned} $$Oleh karena itu, berdasarkan definisi limit fungsi diperoleh bahwa $\lim_{x \to c} f(x) = L$
Soal 7
Buktikan bahwa $\lim_{x \to c} x^3 = c^3$
Bukti. Terlebih dahulu misal $x$ dengan $0<|x-1|<1$. Maka, $$|x| = |x-1+1| \leq |x-1|+1<1+1=2 $$Darisini, $$\begin{aligned} |x^3 – c^3| &= |x-c|\cdot |x^2 + cx + c^2| \\ & \leq |x-c| \cdot (|x^2| + |cx|+ |c^2|) \\ &\leq |x-c| \cdot (4+2 |c| + |c|^2) \end{aligned} $$Selanjutnya akan diberikan bukti formanya.
Diberikan sebarang $\varepsilon>0$. Pilih $$\delta = \min \left\{1,\frac{1}{4+2 |c| + |c|^2 } \cdot \varepsilon \right\} $$ Misal $x \in \mathbb{R}$ dengan $0<|x-c|<\delta$.
Maka, $0<|x-c|<1$ dan berdasarkan hasil sebelumnya $$|x^3 – c^3| \leq |x-c| \cdot (4+2 |c| + |c|^2) $$yang berakibat bahwa $$\begin{aligned} |x^3 – c^3| & \leq |x-c| \cdot (4+2 |c| + |c|^2) \\ & < \delta \cdot (4+2 |c| + |c|^2) \\ & \leq \frac{1}{4+2|c|+|c|^2} \cdot \varepsilon \cdot (4+2|c|+|c|^2) \\ &= \varepsilon \end{aligned} $$Sehingga, berdasarkan definisi formal limit fungsi, diperoleh bahwa $\lim_{x \to c} x^3 = c^3.
Soal 8
Tunjukkan bahwa $\lim_{x \to c} \sqrt{x} = \sqrt{c}$ untuk sebarang $c>0$
Bukti. Sebelumnya, perhatikan bahwa untuk $x \in \mathbb{R}$ tak negatif berlaku $$\begin{aligned} |\sqrt{x} – \sqrt{c}| & = |\sqrt{x} – \sqrt{c}| \cdot \frac{\sqrt{x} + \sqrt{c}}{\sqrt{x} + \sqrt{c}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{c}} \cdot |x-c| \\ & \leq \frac{1}{\sqrt{c}} |x-c|\end{aligned}$$
Diberikan sebarang $\varepsilon > 0$. Karena $c>0$, maka $1/\sqrt{c} > 0$. Dari sini, pilih $\delta = \sqrt{c}\cdot \varepsilon$. Maka, untuk $x \geq 0$ dan $0<|x-c|<\delta$ berlaku $$\begin{aligned} |\sqrt{x} – \sqrt{c}| & = |\sqrt{x} – \sqrt{c}| \cdot \frac{\sqrt{x} + \sqrt{c}}{\sqrt{x} + \sqrt{c}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{c}} \cdot |x-c| \\ & \leq \frac{1}{\sqrt{c}} |x-c| \\& < \frac{1}{\sqrt{c}} \cdot \delta \\& = \frac{1}{\sqrt{c}} \cdot \sqrt{c} \cdot \varepsilon \\ & = \varepsilon \end{aligned} $$Sehingga, berdasarkan definisi limit fungsi diperoleh bahwa $\lim_{x \to c} \sqrt{x} = \sqrt{c}$.
Soal 9
Gunakan definisi $\varepsilon – \delta$ ataupun kriteria barisan untuk limit, untuk menunjukkan limit berikut.
a) $\lim_{x \to 2} \frac{1}{1-x} = -1$
b) $\lim_{x \to 1} \frac{x}{1+x} = \frac{1}{2}$
c) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{|x|} = 0$
d) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 – x+1}{x+1} = \frac{1}{2}$
Jawab.
a) Diberikan sebarang barisan $(x_n)$ dengan $x_n \neq 1$ dan $x_n \to 2$. Maka, $1-x_n \to 1-2 = -1$. Sehingga, dengan teorema-teorema limit barisan, diperoleh bahwa barisan $\left(\frac{1}{1-x_n}\right)$ konvergen ke $\frac{1}{-1} = -1$. Oleh karena itu, berdasarkan kriteria barisan untuk limit diperoleh $$\lim_{x \to 2} \frac{1}{1-x} = -1$$
b) Diberikan sebarang barisan $(x_n)$ dengan $x_n \neq -1$ dan $x_n \to 1$. Maka, $1 + x_n \to 1+1 = 2$. Sehingga, dengan teorema-teorema limit barisan, diperoleh bahwa barisan $\left(\frac{x_n}{1 + x_n}\right)$ konvergen ke $\frac{1}{2}$. Oleh karena itu, berdasarkan kriteria barisan untuk limit diperoleh $$\lim_{x \to 1} \frac{x}{1+x} = \frac{1}{2}$$
c) Diberikan sebarang barisan $(x_n)$ dengan $x_n \neq 0$ dan $x_n \to 0$. Maka, $\frac{x^2}{|x|} = |x| \to 0$. Oleh karena itu, berdasarkan kriteria barisan untuk limit diperoleh $$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{|x|} = 0$$
d) Diberikan sebarang barisan $(x_n)$ dengan $x_n \neq -1$ dan $x_n \to 1$. Maka, $x_n^2 – x_n + 1 \to 1^2-1+1=1$ dan $x_n + 1 \to 1+1 = 2$. Sehingga, dengan teorema-teorema limit barisan, diperoleh bahwa barisan $\left(\frac{x_n^2 – x_n+1}{x_n+1}\right)$ konvergen ke $\frac{1}{2}$. Oleh karena itu, berdasarkan kriteria barisan untuk limit diperoleh $$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 – x+1}{x+1} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$
Soal 10
Gunkana definisi limit untuk menunjukkan bahwa
a) $\lim_{x \to 2} (x^2+4x) = 12$
b) $\lim_{x \to -1} \frac{x+5}{2x+3} = 4$
Bukti.
a) Terlebih dahulu misalkan $0<|x-2|<1$. Maka, $$|x+6| = |x-2+8| \leq |x-2|+8 <1+8=9 $$Kemudian, perhatikan bahwa $$\begin{aligned} |(x^2+4x) – 12| & = |x-2|\cdot |x+6| \\ & \leq |x-2| \cdot 9\end{aligned}$$
Diberikan sebarang $\varepsilon>0$. Misal Pilih $$\delta = \min \left\{1, \frac{\varepsilon}{9} \right\} $$Maka, untuk $0<|x-2|<\delta$, berlaku $0<|x-2|<\delta \leq 1$ yang berakibat bahwa $$\begin{aligned} |(x^2+4x) – 12| & = |x-2|\cdot |x+6| \\ & \leq |x-2| \cdot 9 \\ & < \delta \cdot 9 \\ & \leq \frac{\varepsilon}{9} \cdot 9 \\ & = \varepsilon \end{aligned}$$
Oleh karena itu, berdasarkan definisi limit fungsi diperoleh $\lim_{x \to 2} (x^2+4x) = 12$.
b) Terlebih dahulu misalkan $0<|x+1|<1/3$. Maka, $$|x| = |x+1 -1 | \leq |x+1|+1 < \frac{1}{3}+1=\frac{4}{3} $$dan $$|2x+3| \geq 3 – |2x| > 3 – 2\cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{9} $$Kemudian, perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \left|\frac{x+5}{2x+3}- 4\right| & = \left|\frac{-7x-7}{2x+3}\right|\\ & = \left|7\frac{x+1}{2x+3}\right| \\ & \leq 7 \cdot \frac{1}{|2x+3|} \cdot |x+1| \\ &\leq 7 \cdot \frac{1}{1/9} \cdot |x+1| \\& = 63 |x+1|\end{aligned}$$
Diberikan sebarang $\varepsilon>0$. Misal Pilih $$\delta = \min \{\frac{1}{3}, \frac{\varepsilon}{63} \} $$Maka, untuk $0<|x+1|<\delta$, berlaku $0<|x+1|<\delta \leq 1$ yang berakibat bahwa $$\begin{aligned} \left|\frac{x+5}{2x+3}- 4 \right| & = \left|\frac{-7x-7}{2x+3} \right|\\ & = \left|7\frac{x+1}{2x+3}\right| \\ & \leq 7 \cdot \frac{1}{|2x+3|} \cdot |x+1| \\ &\leq 7 \cdot \frac{1}{1/9} \cdot |x+1| \\& = 63 |x+1| \\ & < 63 \cdot \delta \\& \leq 63 \cdot \frac{\varepsilon}{63} \\ &= \varepsilon \end{aligned}$$
Oleh karena itu, berdasarkan definisi limit fungsi diperoleh $\lim_{x \to -1} \frac{x+5}{2x+3} = 4$.
Soal 14
Misalkan $c \in\mathbb{R}$ and let $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ be such that $\lim_{x \to c} (f(x))^2 = L.$
a. Tunjukkan bahwa jika $L=0,$ maka $\lim_{x \to c} f(x) = 0.$
b. Tunjukkan dengan contoh bahwa jika $L\neq 0,$ maka $f$ bisa saja tidak memiliki limit di $c.$
Jawab.
Terlebih dahulu akan dibuktikan bagia a. Asumsikan bahwa $L=0.$ Misalkan $\varepsilon>0$ sebarang, maka terdapat $\delta>0$ sedemikian sehingga untuk $x \in\mathbb{R}$ dan $0<|x-c< \delta$ berlaku $$|f(x)^2 – 0| < \varepsilon^2$$ yang berakibat bahwa $$|f(x)|^2 < \varepsilon^2 $$dan $$|f(x)| < \varepsilon, \quad x \in \mathbb{R}, 0<|x-c|<\delta.$$
Hal tersebut menunjukkan bahwa $\lim_{x \to c} f(x) = 0$ dan menunjukkan bagian a.
Untuk bagian b, misalkan fungsi $f$ dengan $$f(x) = \begin{dcases} 1-x, & x \geq 0 \\ -x -1, & x<0 \end{dcases}. $$Dapat dicek bahwa $\lim_{x \to 0} (f(x))^2 = L$ tetapi $\lim_{x \to 0} f(x)$ tidak ada.
Demikian postingan kali ini tentang Pembahasan Soal Analisis Real Bagian 4.1 Definisi Limit Fungsi. Postingan ini adalah tentang pembahasan soal analisis real buku bartle. Jika Anda tertarik dengan pembahasan soal analisis real buku bartle lainnya, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
