Last Updated on Desember 31, 2021 by prooffic
Postingan ini akan menyajikan tentang Pembahasan Soal Analisis Real Bartle 4.2. Soal-soal berikut diambil dari buku Inroduction to Real Analysis oleh Robert G. Bartle dan Donald R. Sherbert. Soal-soal tersebut menyangkut materi tentang Teorema-teorema limit. Untuk pembahasan soal analisis real lainnya, terutama dari buku tersebut, silahkan ke sini.
Baca Juga:
Pembahasan Soal Analisis Real 4.1
Pembahasan Soal Analisis Real 4.3
Pembahasan Soal KNMIPA Analisis Real
Pembahasan Soal KNMIPA 2021 Tingkat Wilayah dan Nasional
**Selamat menikmati**
Berikut ini adalah Pembahasan Soal Analisis Real Bartle 4.2.
Pembahasan Soal
Soal 1
Terapkan teorema 4.2.4 untuk menentukan limit-limit berikut.
a) $\lim_{x \to 1} (x+1)(2x+3)$, $x \in \mathbb{R}$
b) $\lim_{x \to 2} \left(\frac{1}{x+1} – \frac{1}{2x}\right)$, $x>0$
c) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2}{x^2 – 2}$, $x > 0$
d) $\lim_{x \to 0} \frac{x+1}{x^2+2}$, $x \in \mathbb{R}$
Jawab.
a) Berdasarkan Teorema 4.2.4 bagian a (penjumlahan dan perkalian), diperoleh bahwa $$\begin{aligned} \lim_{x \to 1} (x+1)(2x+3) & = \lim_{x \to 1} (x+1) \cdot \lim_{x \to 1} (2x+3) \\&= (1+1)(2\cdot 1 + 3) \\&= 10\end{aligned}$$
b) Berdasarkan Teorema 4.2.4 bagian a dan b, diperoleh bahwa $$\begin{aligned} \lim_{x \to 2} \left(\frac{1}{x+1} – \frac{1}{2x}\right) &= \lim_{x \to 2} \frac{1}{x+1} – \lim_{x \to 2} \frac{1}{2x} \\ &= \frac{\lim_{x \to 2} 1}{\lim_{x \to 2} (x+1)} – \frac{\lim_{x \to 2} 1}{\lim_{x \to 2} (2x)} \\&= \frac{1}{2+1} – \frac{1}{2\cdot 1} \\&= \frac{1}{3} – \frac{1}{2} \\&= -\frac{1}{6}\end{aligned}$$
c) Berdasarkan Teorema 4.2.4 bagian a (penjumlahan dan perkalian) dan bagian b, diperoleh bahwa $$\begin{aligned} \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2}{x^2 – 2} &= \frac{\lim_{x \to 2} (x^2+2)}{\lim_{x \to 2} (x^2 – 2)} \\&= \frac{1^2 + 2}{1^2 – 2} \\&= -\frac{3}{1} = -3\end{aligned}$$
d) Berdasasrkan Teorema 4.2.4 bagian a dan b diperoleh bahwa $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{x+1}{x^2+2} &= \frac{\lim_{x \to 0} (x+1)}{\lim_{x \to 0} (x^2 + 2)} \\ & = \frac{0+1}{0^2 + 2} \\&= \frac{1}{2} \end{aligned}$$
Soal 2
Tentukan limit-limit berikut dan nyatakan teorema yang digunakan di setiap kasus. (Anda dapat menggunakan Exercise 15 di bawah).
a) $\lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{2x+1}{x+3}}$, $x>0$
b) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 – 4}{x-2}$, $x > 0$
c) $\lim_{x \to 0} \frac{(x+1)^2 – 1}{x}$, $x>0$
d) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} – 1}{x-1}$, $x>1$
Jawab.
a) Berdasarkan Exercise 15, teorema 4.2.4, diperoleh bahwa $$\begin{aligned} \lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{2x+1}{x+3}} & = \sqrt{\lim_{x \to 2} \frac{2x+1}{x+3}} \\ & = \sqrt{\frac{\lim_{x \to 2} (2x+1)}{\lim_{x \to 2} (x+3)}} \\ & = \sqrt{\frac{2\cdot 2 + 1}{2+3}} \\ & = \sqrt{ \frac{5}{5}} \\ &= 1\end{aligned}$$
b) Berdasarkan teorema 4.2.4, diperoleh bahwa $$\begin{aligned} \lim_{x \to 2} \left( \frac{x^2-4}{x-2} \right) & = \lim_{x \to 2} \left( \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}\right) \\&= \lim_{x \to 2} (x+2) \\&= 2+2 \\ &= 4\end{aligned}$$
c) Berdasarkan teorema 4.2.4, diperoleh bahwa $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{(x+1)^2 – 1}{x} & = \lim_{x \to 0} \frac{(x^2 + 2 x + 1 )- 1 }{x} \\ & = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 2x}{x} \\ & = \lim_{x \to 0} \frac{x(x+2)}{x} \\ & = \lim_{x \to 0} (x+2) \\& = 2+2 \\ &= 4 \end{aligned}$$
d) Berdasarkan teorema 4.2.4 dan Exercise 15, diperoleh bahwa $$\begin{aligned}\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} – 1}{x – 1} & = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} – 1}{x – 1} \cdot \frac{\sqrt{x}+1}{ \sqrt{x}+1} \\ & = \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x}+1)} \\ & = \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x}+1} \\ & = \frac{\lim_{x \to 1} (1)}{ \lim_{x \to 1} (\sqrt{x} + 1)} \\& = \frac{1}{(\lim_{x \to 1} \sqrt{x}) + 1)} \\ & = \frac{1}{\sqrt{1} + 1} \\&= \frac{1}{2}\end{aligned}$$
Soal 3
Tentukan $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+2x} – \sqrt{1+3x}}{x+x^2} $$dengan $x>0$
Jawab. Berdasarkan teorema 4.2.4 dan exercise 15, diperoleh bahwa $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+2x} – \sqrt{1+3x}}{x + 2x^2} & = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+2x} – \sqrt{1+3x}}{x + 2 x^2} \cdot \frac{\sqrt{1 + 2x} + \sqrt{1 + 3x}}{\sqrt{1 + 2x} + \sqrt{1 + 3x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \frac{(1+2x)-(1+3x)}{(x + 2 x^2)(\sqrt{1+2x} + \sqrt{1+3x})} \\&= \lim_{x \to 0} \frac{-x}{(x + 2 x^2)(\sqrt{1 + 2 x}+\sqrt{1 + 3x})} \\ & = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{(1 + 2x)(\sqrt{1 + 2x}+\sqrt{1 + 3x})} \\&= \frac{-1}{(1 + 2 \cdot 0)(\sqrt{1 + 2 \cdot 0}+\sqrt{1 + 3 \cdot 0})} \\ & = -\frac{1}{2}\end{aligned}$$
Soal 4
Buktikan bahwa $\lim_{x \to 0} \cos(1/x)$ tidak ada tetapi $\lim_{x \to 0} \cos(1/x) = 0$
Bukti. Misalkan barisan $(x_n)$ dengan $$x_n = \frac{1}{n \pi} $$Maka, $x_n \to 0$. Kemudian, $$\cos (x_{2n}) = \cos (\frac{1}{x_n}) = \cos (\frac{1}{1/(2n \pi)}) = \cos 2n \pi = 1 $$dan $$\cos (x_{2n+1}) = \cos (\frac{1}{x_n}) = \cos (\frac{1}{1/((2n+1))\pi}) = \cos (2n+1)\pi = -1 $$Dari sini, $\cos x_{2n} \to 1$ dan $\cos x_{2n+1} \to -1$. Dengan kata lain, $(x_n)$ tidak konvergen.
Sehingga, secara keseluruhan, terdapat barisan $(x_n)$ yang konvergen ke $0$ tetapi barisan $(\cos x_n)$ tidak konvergen. Berdasarkan kriteria Divergensi (Teorema 4.1.9), maka $\lim_{x \to 0} \cos(1/x)$ tidak ada.
Kemudian, perhatikan bahwa $$|\cos (1/x)| \leq 1 $$untuk setiap $x \neq 0$. Dari sini, $$-|x|\leq x \cos (1/x) \leq |x|$$ untuk setiap $x$ tidak nol. Karena $$\lim_{x \to 0} |x| = 0 $$dan $$-|x| \leq x \cos (1/x) \leq |x|$$ untuk setiap $x$ tidak nol, maka berdasarkan teorema Apit (Teorema 4.2.7), diperoleh bahwa $$\lim_{x \to 0} x \cos (1/x) = 0$$
Jadi, $\lim_{x \to 0} \cos(1/x)$ tidak ada tetapi $\lim_{x \to 0} x \cos(1/x) = 0$.
Soal 5
Misalkan $f,g$ didefinisikan pada $A \subseteq \mathbb{R}$ ke $\mathbb{R}$ dan misalkan $c$ titik limit $A$. Asumsikan bahwa $f$ terbatas pada suatu persekitaran $c$ dan $\lim_{x \to c} g = 0$. Buktikan bahwa $\lim_{x \to c} fg = 0$.
Bukti. Asumsikan bahwa $f$ terbatas pada suatu persekitaran $c$ dan $\lim_{x \to c} g = 0$. Karena $f$ terbatas pada suatu persekitaran $c$, maka berdasarkan definisi 4.2.1, terdapat $M > 0$ dan $\delta_1 > 0$ sedemikian sehingga $$|f(x)| \leq M; x \in A \cap V_{\delta_1} (c) $$
Akan ditunjukkan bahwa $\lim_{x \to c} fg = 0$. Untuk itu, diberikan sebarang $\varepsilon > 0 $. Karena $\lim_{x \to c} fg = 0$, maka terdapat $\delta_2 > 0$ sedemikian sehingga untuk $x \in A$ dengan $0 < |x-c| < \delta_2$ berlaku bahwa $$|g(x)| = |g(x) – 0| < \frac{\varepsilon}{M} $$
Pilih $\delta = \min \{\delta_1, \delta_2\}$. Maka, $\delta \leq \delta_1$ dan $\delta \leq \delta_2$.
Misalkan $x \in A$ dengan $0<|x-c|<\delta.$ Maka, $0<|x-c|<\delta_1$ yang berakibat bahwa $|f(x)| \leq M$. Selain itu, $0<|x-c|<\delta_2$ yang berakibat bahwa $|g(x)| \leq \frac{\varepsilon}{M}$. Oleh karena itu, $$|f(x)g(x)| = |f(x)|\cdot |g(x)| \leq M \cdot \frac{\varepsilon}{M} = \varepsilon $$
Sehingga, berdasarkan definisi limit fungsi, diperoleh bahwa $\lim_{x \to c} fg = 0$.
Soal 6
Gunakan definisi limit untuk menenunjukkan asersi pertama teorema 4.2.4 (a)
Jawab. Misalkan $A \subseteq \mathbb{R}$, misalkan $f$ dan $g$ fungsi pada $A$ ke $\mathbb{R}$ dan misalkan $c \in \mathbb{R}$ adalah titik limit dari $A$. Asumsikan bahwa $$\lim_{x \to c} f = L $$dan $$\lim_{x \to c} g = M $$Akan ditunjukkan bahwa $$\lim_{x \to c} (f+g) = L + M $$
Diberikan sebarang $\varepsilon>0$ sebarang. Karena $\lim_{x \to c} f = L $, maka terdapat $\delta_1 > 0$ sedemikian sehingga untuk $x \in A$ dan $0<|x-c|<\delta_1$ berlaku $$|f(x) – L| < \frac{\varepsilon}{2} $$Kemudian, karena $\lim_{x \to c} g = M $, maka terdapat $\delta_2 > 0$ sedemikian sehingga untuk $x \in A$ dengan $0 < |x-c| < \delta_2$ berlaku $$|g(x) – M| < \frac{\varepsilon}{2}$$
Pilih $\delta = \min \{\delta_1, \delta_2\}$. Misal $x \in A$ dengan $0 < |x-c| < \delta$. Karena $\delta \leq \delta_1$, maka $0 < |x-c| < \delta_1$ yang berakibat bahwa $|f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{2}$. Selain itu, karena $\delta \leq \delta_2,$ maka $0 < |x-c| < \delta_2$ yang berakibat bahwa $|g(x) – M|<\frac{\varepsilon}{2}$. Dari sini, dengan ketaksamaan segitiga, $$\begin{aligned} |f(x)+g(x) – (L+M)| &= |(f(x)-L)+(g(x)-M)| \\ & \leq |f(x)-L|+|g(x)-M| \\ & < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} \\ & = \varepsilon \end{aligned}$$
Sehingga, dengan definisi limit fungsi, disimpulkan bahwa $$\lim_{x \to c} (f+g) = L + M $$
Soal 7
Gunakan formulasi barisan (limit) untuk menunjukkan teorema 4.2.4 (b).
Bukti. Misalkan $A \subseteq \mathbb{R}$, misalkan $f$ fungsi pada $A$ ke $\mathbb{R}$, dan misalkan $c \in \mathbb{R}$ adalah titik limit dari $A$ dan $\lim_{x \to c} f = L$. Misalkan $h : A \to \mathbb{R}$, dan $h(x) \neq 0$ untuk semua $x \in A$ dan $\lim_{x \to c} h = H \neq 0$.
Akan ditunjukkan bahwa $$\lim_{x \to c} \left( \frac{f}{h} \right) = \frac{L}{H} $$Diberikan $(x_n)$ sebarang barisan di $A$ yang konvergen $c$. Karena $\lim_{x \to c} f = L$ dan $\lim_{x \to c} h = H$, maka berdasarkan kriteria barisan untuk limit, $\lim f(x_n) = L$ dan $\lim h(x_n) = H$. Dari sini, berdasarkan teorema-teorema limit, karena $H \neq 0$ dan $h(x_n) \neq 0$ untuk tiap $n$, maka $$\lim \frac{f(x_n)}{h(x_n)} = \frac{L}{H}$$
Oleh karena itu, secara keseluruhan, setiap barisan $(x_n)$ sebarang barisan di $A$ yang konvergen $c$, berlaku $$\lim \frac{f(x_n)}{h(x_n)} = \frac{L}{H} $$sehingga, dengan kriteria barisan disimpulkan bahwa $$\lim_{x \to c} \left( \frac{f}{h} \right) = \frac{L}{H} $$
Soal 8
Misalkan $n \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $n \geq 3$. Turunkan ketsamaan $-x^2 \leq x^n \leq x^2$ untuk $-1<x<1$. Kemudian, gunakan fakta bahwa $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$ untuk menunjukkan bahwa $\lim_{x \to 0} x^n = 0$.
Bukti. Perhatikan bahwa ketaksamaan tersebut ekuivalen dengan $$|x^n| \leq x^2 $$untuk $|x|<1$. Akan ditunjukkan ketaksamaan tersebut dengan menggunakan induksi matematika.
Misalkan $n = 3,$ |x|<1. Karena $x^2 \geq 0$ untuk $|x|<1$, maka dengan mengalikan dengan $x^2$ pada kedua ruas pada $|x|<1$ diperoleh bahwa $$|x^3| < x^2 $$yang berakibat bahwa pernyataan benar untuk $n = 3$.
Asumsikan bahwa pernyataan (ketaksamaan) bernilai benar untuk $n = k$, yaitu $$|x^k| \leq x^2 $$untuk $|x|<1$. Dari sini, dengan mengalikan masing-masing ruas yang bersesuaian pada ketaksamaan $|x^k| \leq x^2 $ dan $|x| < 1$ diperoleh bahwa $|x^{k+1}|<x^2$.
Sehingga, $$|x^{k+1}|<x^2 $$untuk $|x|<1$ dan pernyataan juga bernilai benar untuk $n = k+1$. Oleh karena itu, berdasarkan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa $$|x^n| \leq x^2 $$untuk $|x|<1$ dan $n \geq 3$. Dari sini, $$-x^2 \leq x^n \leq x^2$$ untuk $-1<x<1$.
Misal $n \geq 3$. Perhatikan bahwa $\lim_{x to 0} x^2 = 0$ dan $\lim_{x \to 0} (-x^2) = 0$. Karena $$-x^2 \leq x^n \leq x^2$$ untuk $-1<x<1$, maka dengan teorema apit diperoleh $$ \lim_{x \to 0} x^n = 0$$
Soal 9
Misalkan $f, g$ didefinisikan pada $A$ ke $\mathbb{R}$ dan misalkan $c$ adalah titik limit dari $A$.
a) Tunjukkan bahwa jika $\lim_{x \to c} f$ dan $\lim_{x \to c} (f+g)$ ada, maka $\lim_{x \to 0} g$ ada.
b) JIka $\lim_{x \to c} f$ dan $\lim_{x \to c} fg$ ada, apakah $\lim_{x \to c} g$ ada?
Bukti.
a) Perhatikan bahwa $$g = (f+g) – f $$pada $A$. Karena $\lim_{x \to c} f$ dan $\lim_{x \to c} (f+g)$ ada, maka berdasarkan teorema 42.4 diperoleh bahwa $\lim_{x \to c} g$ ada.
b) Misalkan $A = \mathbb{R}~\{0\}$ dan $c = 0$. Didefinisikan $f(x) = x$, $g(x) = \cos (1/x)$ untuk setiap $x$ di $A$. Maka, $\lim_{x \to 0} f$ ada dan berdasarkan nomor 4, $\lim_{x \to c} fg$ juga ada. Akan tetapi, berdasarkan 4 juga diperoleh bahwa $\lim_{x \to c} g$ tidak ada.
Soal 10
Berikan contoh fungsi $f$ dan $g$ sedemikian sehingga $f$ dan $g$ tidak memiliki limit di $c$ tetapi $f+g$ dan $fg$ memiliki limit di $c$.
Jawab. Tinjau fungsi $f$ dan $g$ dengan $$ f(x) = \begin{dcases} -1 &, x \leq 0 \\ 1 &, x >0 \end{dcases} $$dan $$ g(x) = \begin{dcases} 1 &, x \leq 0 \\ 1 &, x >0 \end{dcases} $$Dari sini, $f$ dan $g$ tidak memiliki limit di $c = 0$.
Kemudian, dapat dilihat bahwa $(f+g)(x) = 0$ untk setiap $x$ dan $(fg)(x) = 1$ untuk setiap $x$. Dari sini, $f+g$ dan $fg$ memiliki limit di $c = 0$. Jadi, $f$ dan $g$ yang didefinisikan tersebut tidak memiliki limit di $c$ tetapi $f+g$ dan $fg$ memiliki limit di $c$.
Demikian postingan kali ini tentang Pembahasan Soal Analisis Real Bartle 4.2. Postingan ini adalah tentang pembahasan soal analisis real buku bartle. Jika Anda tertarik dengan pembahasan soal Analisis real bartle lainnya, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
