Last Updated on Desember 10, 2021 by prooffic
Postingan kali ini akan membahas tentang eksistensi basis ruang vektor, yaitu setiap ruang vektor memiliki basis. Hal tersebut dapat kita lihat dengan mudah pada $\mathbb{R}^n.$ Ruang tersebut adalah ruang vektor dengan salah satu basisnya adalah $$\left\{e_i \right\}_{i=1}^{n} $$dengan $e_i$ adalah vektor yang entri-entrinya bernilai nol kecuali di baris ke-$i.$
Ruang vektor fungsi kontinu $C[a,b]$ merupakan ruang vektor. Pertanyaan adalah apakah ruang tersebut memiliki basis?. Dengan teorema yang akan kita bahas, maka ruang vektor tersebut juga memiliki basis. Hal yang sama juga berlaku $\mathcal{R}[a,b]$ yang merupakan ruang fungsi terintegral riemann.
Pembuktian Eksistensi Basis Ruang Vektor akan menggunakan lema Zorn sehingga terlebih dahulu disajikan sekilas mengenai himpunan terurut parsial, rantai dan lema Zorn. Dengan konsep-konsep tersebut, kita akan menunjukkan bahwa setiap ruang vektor memiliki basis.
Baca Juga: Dimensi subruang dari suatu ruang vektor
Himpunan terurut Parsial
Definisi himpunan terurut parsial
Misalkan $A$ adalah himpunan tak kosong dan terdapat relasi biner $”\leq”$ yang didefinisikan pada $A$ dan disebut sebagai order partial dengan sifat-sifat sebagai berikut.
- Refleksif. Untuk semua $a \in A$ berlaku $a \leq a$
- Antisimetri. Untuk semua $a, b \in A$ berlaku bahwa jika $a \leq b$ dan $b \leq a$ maka $a = b$
- Transitif. Untuk semua $a, b, c \in A$ berlaku bahwa jika $a \leq b$ dan $b \leq c$ maka $a \leq c$
Jika $A$ memenuhi sifat tersebut, maka $A$ disebut sebagai himpunan terurut parsial dan terkadang ditulis $(A, \leq)$ dan disebut juga sebagai poset. Salah satu contoh himpunan terurut parsial adalah bilangan real dengan order parisal berupa relasi urutan biasa, yaitu $” \leq, = , \geq “$ dan juga himpunan bilangan bulat dengan order parsial berupa relasi keterbagian.
Batas atas
Misalkan $A$ adalah himpunan terurut parsial dengan order partial $\leq$ dan misalkan $S$ adalah subset dari $A.$ Kita katakan bahwa $a \in A$ adalah batas atas untuk $S$ jika $s \leq a$ untuk semua $s \in S.$ Definisi batas atas di sini lebih umum dibandingkan dengan definisi batas atas yang telah kita kenal di bilangan real karena himpunan bilangan real adalah salah satu contoh dari himpunan terurut parsial.
Unsur maksimal
Misalkan $A$ adalah himpunan terurut parsial. $u \in A$ dikatakan sebagai elemen maksimal jika tidak ada elemen lain yang lebih besar (terhadap order parsial) darinya di $A$, yaitu jika $a \in A$ dan $a \leq u$ maka $a = p$. Catat bahwa batas atas dan unsur maksimal berbeda. Perhatikan himpunan $$\{1, 2, 4, 8, 3, 9\} $$Himpunan tersebut adalah himpunan terurut parsial dengan order parsial adalah relasi keterbagian. Unsur maksimalnya adalah $8$ dan $9$ tetapi batas atasnya tidak ada. Relasi keterbagian pada himpunan tersebut membaginya menjadi dua bagian, yaitu habis dibagi 2 dan habis dibadi 3 serta tidak ada unsur di himpunan tersebut yang dapat dibagi oleh keduanya. Sehingga, himpunan tersebut tidak memiliki batas atas karena tidak ada unsur yang dibagi oleh 2 dan 3. Sedangkan unsur maksimlanya adalah 8 dan 9 yang masing-masing berasal dari keterbagian 2 dan keterbagian 3.
Definisi himpunan terurut total
Misalkan $A$ adalah himpunan terurut total. Jika setiap pasangan elemen di $A$ dapat dibandingkan satu sama lain, artinya untuk setiap $a,b \in A$ berlaku $a \leq b$ atau $b \leq a$, maka $A$ disebut sebagai himpunan terurut total. Contoh himpunan terurut total adalah himpunan bilangan real dengan relasi urutan dan contoh himpunan tidak terurut todal adalah himpunan bilangan bulat dengan relasi keterbagian. Jika $A$ adalah himpunan terurut partial, maka rantai di $A$ adalah sebarang subset terurut total $A$.
Lema Zorn
Jika $A$ adalah himpunan terurut parsial sedemikian sehingga setiap rantai memiliki batas atas, maka $A$ memiliki unsur maksimal
Dengan lema zorn, kita akan menunjukkan bahwa sebarang ruang vektor memiliki basis. Perlu diingat kembali bahwa basis dari suatu ruang vektor $V$ adalah himpunan vektor di $V$ yang bebas linear dan merentang $V.$ Selain itu, jika $A$ adalah keluarga himpunan, yaitu himpunan yang anggota-anggotanya adalah himpunan, maka $A$ dengan relasi inklusi himpunan ($”\subseteq”$) membentuk himpunan terurut parsial.
Eksistensi Basis Ruang Vektor
Teorema 1. Misalkan $V$ adalah ruang vektor tak nol. Misalkan $\mathcal{I}$ adalah himpunan bebas linear di $V$ dan $S$ adalah himpunan merentang di $V$ yang memuat $\mathcal{I}.$ Maka, ada basis $X$ untuk $V$ sedemikian sehingga $\mathcal{I} \subseteq X \subseteq S.$
Bukti. Misalkan $\mathcal{A}$ adalah koleksi dari semua $A \subseteq V$ yang bebas linear, memuat $\mathcal{I}$ dan termuat di $S,$ yaitu $$\mathcal{A} = \{ A \subseteq V : A \text{ bebas linear}, \mathcal{I} \subseteq A \subseteq V \} $$Perhatikan bahwa $\mathcal{I} \in \mathcal{A}$ sehingga $\mathcal{A}$ tidak kosong. Selain itu, $\mathcal{A}$ merupakan himpunan terurut parsial terhadap inklusi himpunan. Akan ditunjukkan bahwa $\mathcal{A}$ memiliki unsur maksimal dengan menggunakan lema Zorn. Untuk itu, diberikan sebarang rantai di $\mathcal{A},$ yaitu $$\mathcal{C} = \{ I_k : k \in \mathcal{K}\}$$ Maka, untuk tiap $I_k, I_l \in \mathcal{C}$ berlaku $I_k \subseteq I_l$ atau sebaliknya. Didefinisikan $$\mathcal{U} = \cup_{k \in \mathcal{K}} I_k $$Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa $\mathcal{U}$ bebas linear.
Tinjau persamaan $$a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n = 0 $$dengan $x_1, …, x_n \in \mathcal{U}.$ Maka, ada $\{n_1, …, n_k\} \subseteq \mathcal{K}$ dengan $x_1, …, x_n \in \cup_{i = 1}^{k} I_{n_l}$ Karena $\mathcal{C}$ adalah rantai dan $I_{n_l} \in \mathcal{C}$ untuk tiap $l =1,.., k$ maka ada $l^{\prime}$ sedemikian sehingga $I_{n_l} \subseteq I_{n_{l^{\prime}}}$ untuk tiap $l =1, …, k.$ Dari sini, $x_1, …, x_n \in I_{l^{\prime}}$
Karena $I_{l^{\prime}}$ bebas linear dan $x_1, …, x_n \in I_{l^{\prime}}$ serta $$a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n = 0 $$maka haruslah $a_1 = \cdots = a_n$ sehingga $\mathcal{U}$ adalah bebas linear. Karena $\mathcal{I} \subseteq I_k \subseteq S,$ maka $\mathcal{I} \subseteq \mathcal{U} \subseteq S.$ Selain itu, jelas bahwa $I_k \subseteq \mathcal{U}$ untuk setiap $k \in \mathcal{K}.$ Kemudian, $\mathcal{U} \subseteq S.$ Dari sini, $\mathcal{U}$ adalah batas atas dari $\mathcal{C}.$ Akibatnya, setiap rantai di $C$ memiliki batas atas.
Oleh karena itu, dengan lema Zorn, diperoleh bahwa $\mathcal{A}$ memiliki elemen maksimal. Misalkan elemen maksimal tersebut adalah $\mathcal{B}$. Maka, $\mathcal{B}$ juga bebas linear. Akan ditunjukkan bahwa $\mathcal{B}$ adalah basis bagi $V$
Karena $\mathcal{B}$ bebas linear, maka cukup ditunjukkan bahwa $\mathcal{B}$ merentang $V$ dengan menunjukkan bahwa setiap $s\in S$ adalah kombinasi linear dari elemen-elemen di $\mathcal{B}$. Andaikan ada $s \in S$ yang bukan kombinasi linear dari elemen-elemen dari $\mathcal{B}.$ Maka, $\mathcal{B} \cup \{s\} \subseteq S$ bebas linear. Di lain pihak, $\mathcal{B}$ adalah himpunan bebas linear maksimal yang termuat di $S.$ Keduanya tidak mungkin berlaku sehingga pengandaian salah dan haruslah Jika setiap $s \in S$ adalah kombinasi linear dari elemen-elemen dari $\mathcal{B}$
Karena setiap $s \in S$ adalah kombinasi linear dari elemen-elemen dari $\mathcal{B}$, maka $\mathcal{B}$ merentang $S$. Karena $S$ merentang $V$ maka $\mathcal{B}$ juga merentang $V.$ Dari sini, $\mathcal{B}$ basis bagi $V$. Jadi, terdapat basis $\mathcal{B}$ sedemikian sehingga $\mathcal{I} \subseteq \mathcal{B} \subseteq S$
Catat bahwa asumsi $V$ bukan vektor tak nol mengimplikasikan bahwa $V$ memuat sebuah himpunan bebas linear $\mathcal{I}.$ Himpunan $S$ tersebut dijamin ada, yaitu paling tidak $S$ adalah ruang vektor $V$ itu sendiri.
Akibat 2. Setiap vektor tak nol memiliki basis
Bukti. Misalkan $V$ adalah vektor tak nol. Maka, ada $v \in V$ yang tidak nol. Didefinisikan $$\mathcal{I} = \{v\} $$Maka, jelas bahwa $\mathcal{I}$ bebas linear. Didefinisikan $S = V.$ Maka, jelas bahwa $S$ merentang $V.$ Oleh karena itu, dengan teorema 1, terdapat $\mathcal{B}$ yang termuat di $S=V$ dan memuat $\mathcal{I}$ yang merupakan basis bagi $V.$ Jadi, setiap vektor tak nol memiliki basis.
Akibat 3. Sebarang himpunan bebas linear di ruang vektor tak nol $V$ termuat di suatu basis
Bukti. Misalkan $\mathcal{I}$ adalah sebarang himpunan bebas linear di vektor tak nol $V.$ Didefinisikan $S=V.$ Maka $S$ merentang $V$. Berdasarkan teorema 1, maka ada basis $\mathcal{B}$ bagi $V$ yang memuat $\mathcal{I}.$ Jadi, sebarang himpunan bebas linear di ruang vektor tak nol $V$ termuat di suatu basis.
Akibat 4. Sebarang himpunan merentang di ruang vektor tak nol $V$ merentang suatu basis
Bukti. Misalkan $V$ adalah ruang vektor tak nol dan diberikan sebarang himpunan $S$ merentang $V$. Maka, ada $v \in V$ yang tidak nol. Dari sini, himpunan $$\mathcal{I} = \{v\} $$bebas linear. Berdasarkan teorema 1, maka terdapat basis $\mathcal{B}$ bagi $V$ yang termuat di $S$ dan memuat $\mathcal{I}.$ Jadi, sebarang himpunan merentang di ruang vektor tak nol $V$ merentang suatu basis.
Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan tersebut, dapat disimpulkan bahwa setiapa ruang vektor tak nol memiliki basis. Jika kita memiliki himpunan yang bebas linear di $V,$ maka kita dapat memperluas (jika perlu) himpunan tersebut menjadi basis bagi $V.$ Selain itu, jika kita memiliki himpunan merentang di $V,$ maka kita dapat memperoleh suatu basis bagi $V$ dengan mengeluarkan vektor-vektor tertentu dari himpunan tersebut (jika perlu).
Demikian pembahasan kali ini tentang Eksistensi Basis Ruang Vektor. Postingan kali ini adalah tentang Aljabar Linear. Jika Anda tertarik dengan postingan lainnya terkait dengan Aljabar Linear, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik/materi lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
