Last Updated on Agustus 8, 2022 by prooffic
Postingan kali ini akan membahas tentang rumus integral sinus pangkat genap. Pembahasan berikut menggunakan teknik integral parsial. Selain itu, kita juga akan menggunakan sifat-sifat berupa identitas trigonometri dasar. Rumus dari Integral Sinus pangkat genap menyatakan bahwa jika $n$ adalah bilangan bulat tak negatif, maka $$\int_0^{\pi / 2} \sin^{2n} t dt ={ 2n \choose n} \frac{\pi}{2^{2n+1}}$$
**Selamat menikmati**
Kita akan membuktikan rumus tersebut menggunakan teknik integral parsial dan menggunakan identitias trigonometri sederhana. Untuk itu, terlebih dahulu kita akan mengulas secara singkat mengenai teknik integral parsial dan beberapa identitas dasar trigonometri yang digunakan.
Integral Parsial
Teknik integral parsial merupakan salah satu teknik dasar yang biasa digunakan dalam menyelesaikan suatu integral. Teknik ini biasanya (tidak selalu) digunakan ketika metode subtitusi tidak bisa digunakan. Karakteristik yang biasanya dimiliki integral yang memungkinkan agar teknik ini dapat digunakan adalah ketika integrannya terdiri dari perkalian dari dua fungsi tak konstan. Teknik tersebut menyatakan bahwa $$\int udv = uv – \int v du$$ dan untuk $a \leq b$ berlaku $$\int_a^{b} udv = uv |_a^{b} – \int_a^{b} v du$$
Bentuk pertama digunakan untuk integral tak tentu. Sedangkan bentuk kedua digunakan untuk integral tentu. Nilai dari $a$ maupun $b$ masing-masing dapat diganti menjadi $-\infty$ ataupun $+\infty.$
Identitas Trigonometri
Identitas paling dasar dalam trigonometri adalah identitas berikut. $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $$untuk setiap $\theta$. Dengan identitias tersebut dan rumus penjumlahan sudut untuk cosinus, dapat dilihat bahwa $$\sin^2 \theta = \frac{1}{2} \left( 1 – \cos 2 \theta \right)$$
Rumus Integral Sinus Pangkat Genap
Terlebih dahulu kita akan menurunkan rumus tersebut dengan meninjau hubungan antara masing-masing nilai, yaitu ketika $n = 1$ dengan $n = 2$ dan $n = 2$ dengan $n = 3$. Dengan hasil tersebut, kita akan memperoleh dugaan yang nantinya dapat kita buktikan bahwa dugaan tersebut berlaku untuk setiap bilangan bulat tak negatif $n$ dengan menggunakan induksi matematika.
Terlebih dahulu kita hitung integral untuk $n = 0$. Jelas bahwa $$\int_0^{\pi / 2} \sin^0 t dt = \int_0^{\pi / 2} dt = \frac{\pi}{2} $$Untuk $n = 1,$ tinjau integral $$\int_0^{\pi / 2} \sin^2 t dt $$Dengan identitas trigonometri sebelumnya, yaitu $$\sin^2 \theta = \frac{1}{2} \left( 1 – \cos 2 \theta \right) $$maka $$\begin{aligned} \int_0^{\pi / 2} \sin^2 t dt & = \int_0^{\pi / 2} \frac{1}{2} \left( 1 – \cos 2 \theta \right) dt \\ & = \frac{1}{2} \int_0^{\pi / 2} dt – \frac{1}{2} \int_0^{\pi / 2} \cos 2 \theta dt \\ & = \frac{\pi}{4} – \frac{1}{4} \sin 2 \theta |_0^{\pi/2} \\ & = \frac{\pi}{4} \end{aligned}$$
Kemudian, tinjau integral $$\int_0^{\pi / 2} \sin^4 t dt $$Misal $u = \sin^3 t$ dan $dv = \sin t dt.$ Maka, $$du = 3 \sin^3 t \cos t dt $$dan $v = -\cos t $Dari sini, dengan teknik integral parsial, $$\begin{aligned}\int_0^{\pi/2} \sin^4 t dt &= \sin^3 t \cos t |_0^{\pi/2} + 3 \int_0^{\pi/2} \sin^2 t \cos^t dt \\ &= 3 \int_0^{\pi/2} \sin^2 t (1 – \sin^2 t ) dt \\ &=3 \int_0^{\pi/2} \sin^2 t dt – 3 \int_0^{\pi/2} \sin^4 t \end{aligned} $$Sehingga, $$\int_0^{\pi/2} \sin^4 t = 3 \int_0^{\pi/2} \sin^2 t dt – 3 \int_0^{\pi/2} \sin^4 t $$dan $$ \int_0^{\pi/2} \sin^4 t dt = \frac{3}{4} \int_0^{\pi/2} \sin^2 t dt $$Dari sini, dengan menggunakan hasil sebelumnya, $$ \int_0^{\pi/2} \sin^4 t dt = \frac{3}{4} \frac{\pi}{4} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} \frac{\pi}{2}$$
Sampai pada tahap ini, polanya mungkin masih belum terlihat jelas. Oleh karena itu, kita lanjutkan untuk $n = 3$. Tinjau integral $$\int_0^{\pi / 2} \sin^6 t dt $$Misal $u = \sin^5 t$ dan $dv = \sin t dt.$ Maka, $$du = 5 \sin^4 t \cos t dt $$dan $v = -\cos t $Dari sini, dengan teknik integral parsial, $$\begin{aligned}\int_0^{\pi/2} \sin^6 t dt &= \sin^5 t \cos t |_0^{\pi/2} + 5 \int_0^{\pi/2} \sin^4 t \cos^2 t dt \\ &= 5 \int_0^{\pi/2} \sin^4 t (1 – \sin^2 t ) dt \\ &=5 \int_0^{\pi/2} \sin^4 t dt – 5 \int_0^{\pi/2} \sin^6 t \end{aligned} $$Sehingga, $$\int_0^{\pi/2} \sin^6 t = 5 \int_0^{\pi/2} \sin^4 t dt – 5 \int_0^{\pi/2} \sin^6 t $$dan $$ \int_0^{\pi/2} \sin^6 t dt = \frac{5}{6} \int_0^{\pi/2} \sin^4 t dt $$Dari sini, dengan menggunakan hasil sebelumnya, $$ \int_0^{\pi/2} \sin^6 t dt =\frac{5}{6} \frac{3}{4} \frac{\pi}{4} = \frac{5 \cdot 3 \cdot 1}{6 \cdot 4 \cdot 2} \frac{\pi}{2}$$
Dari sini, kita beranggapan bahwa bagian pembilangan merupakan perkalian dari bilangan ganjil berurutan dari $1$ hingga $2n – 1$ dan penyebut merupakan perkalian bilangan genap yang berurutan dari $2$ hingga $2n$. Perhitungan-perhitungan tersebut memberikan kita bayangan tentang apa yang sebenarnya terjadi pada integral tersebut. Berikut ini kita akan meninjau kasus untuk $n$ sebarang bilangan bulat positif.
Tinjau integral $$\int_0^{\pi / 2} \sin^{2n} t dt $$Misal $u = \sin^{2n – 1} t$ dan $dv = \sin t dt.$ Maka, $$du = (2n-1) \sin^{2n-2} t \cos t $$dan $v = -\cos t $Dari sini, dengan teknik integral parsial, $$\begin{aligned}\int_0^{\pi/2} \sin^{2n} t dt &= \sin^{2n-1} t \cos t |_0^{\pi/2} + (2n-1) \int_0^{\pi/2} \sin^{2n-2} t \cos^2 t dt \\ &= (2n-1) \int_0^{\pi/2} \sin^{2n-1} t (1 – \sin^2 t ) dt \\ &=(2n-1) \int_0^{\pi/2} \sin^{2n-2} t dt – (2n-1) \int_0^{\pi/2} \sin^{2n} t \end{aligned} $$Sehingga, $$\int_0^{\pi/2} \sin^{2n} t = (2n-1) \int_0^{\pi/2} \sin^{2n-2} t dt – (2n-1) \int_0^{\pi/2} \sin^{2n} t $$dan $$ \int_0^{\pi/2} \sin^{2n} t dt = \frac{2n-1}{2n} \int_0^{\pi/2} \sin^{2n-2} t dt $$Dari sini, secara rekursif kita peroleh $$\begin{aligned} \int_0^{\pi / 2} \sin^{2n} t dt & = \frac{2n-1}{2n} \int_0^{\pi/2} \sin^{2n-2} t dt\\ & = \frac{2n-1}{2n} \frac{2n-3}{2n-2} \int_0^{\pi/2} \sin^{2n-4} t dt \\ & \vdots \\ &= \frac{2n-1}{2n} \frac{2n-3}{2n-2} \cdots \frac{5}{6} \int_0^{\pi/2} \sin^4 t dt \\ &= \frac{2n-1}{2n} \frac{2n-3}{2n-2} \cdots \frac{5}{6} \frac{3}{4} \frac{1}{2}\frac{\pi}{2} \\ & = \frac{(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3) \cdots (3)(2)}{2^n (n)(n-1) \cdots (3)(2)(1) \cdot (2n)(2n-2) \cdots (4)(2)} \frac{\pi}{2} \\ & = \frac{(2n)!}{2^n (n!) \cdot 2^n (n)(n-1) \cdots (2)(1)} \frac{\pi}{2}\\& = \frac{(2n)!}{2^n (n!) \cdot 2^n (n!)} \frac{\pi}{2} \\&= { 2n \choose n} \frac{\pi}{2^{2n+1}}\end{aligned} $$Anda dapat membuktikannya lebih lanjut dengan menggunakan induksi matematika bahwa rumus tersebut berlaku untuk setiap bilangan bulat tak negatif $n.$
Jadi, untuk setiap bilangan bulat tak negatif $n$ berlaku $$\int_0^{\pi / 2} \sin^{2n} t dt ={ 2n \choose n} \frac{\pi}{2^{2n+1}}$$
Demikian pembahasan kali ini tentang Rumus Integral Sinus Pangkat Genap. Postingan ini termasuk dalam materi kalkulus. Jika Anda tertarik dengan materi lainnya terkait dengan kalkulus, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
