Last Updated on Februari 26, 2025 by prooffic
Postingan kali ini akan membahas tentang Pembahasan Soal ONMIPA 2016 Analisis Kompleks Tingkat Wilayah khususnya bagian uraian. Materi pada soal nomor 1 mencakup materi pada bagian riil, konjugat, dan modulus bilangan kompleks. Selain itu, materi pada soal nomor 2 mencakup materi tentang integral kompleks, bagian riil bilangan kompleks, konjugat, persamaan Cauchy-Riemann, dan Teorema Green.
Baca Juga:
Pembahasan Soal ONMIPA 2024
Pembahasan Soal ONMIPA 2023
Pembahasan Soal ONMIPA Analisis Kompleks
Teorema Green
Berikut ini adalah teorema Green yang digunakan dalam menjawab soal nomor 2.
Teorema Green: Misalkan $C$ adalah kontur dengan orientasi positif dan $D$ adalah daerah yang dibatasi oleh $C$. Jika $P$ dan $Q$ adalah fungsi pada sebuah daerah terbuka yang memuat $D$ dan memiliki turunan parsial yang kontinu, maka $$\int_C P dx + Q dy = \iint_D \left( \frac{ \partial{Q}}{ \partial{x} } – \frac{ \partial{P} }{ \partial{y}} \right) dA$$
** Selamat Menikmati **
Soal 1
Diberikan bilangan-bilangan kompleks $z_1,z_2,$ dan $z_3$ yang memeunih $z_1+z_2+z_3 = 0$dan $|z_1|=|z_2|=|z_3|=1.$ Buktikan bahwa $$z_1^2 + z_2^2 +z_3^2=0$$.
Jawab. Perhatikan bahwa $$ \begin{aligned} 0 & = (z_1+z_2+z_3) (\overline{z_1}+\overline{z_2}+\overline{z_3}) \\ & = |z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_3|^2 + 2 \Re ({z_1 \overline{z_2} + \overline{z_1} z_3 +z_2 \overline{z_3}}) \\ & = 3 + 2 \Re ({z_1 \overline{z_2} + \overline{z_1} z_3 +z_2 \overline{z_3}}) \end{aligned} $$sehingga $$2 \Re ({z_1 \overline{z_2} + \overline{z_1} z_3 +z_2 \overline{z_3}}) = -3. $$Selanjutnya, karena $|z_1|^2 = z_1\overline{z_1}=|z_2|^2 = z_2\overline{z_2}=|z_3|^2 = z_3\overline{z_3}=1$, maka $$ \begin{aligned} | z_1 z_2 + z_1 z_3 + z_2 z_3 |^2 & = (z_1 z_2 + z_1 z_3 + z_2 z_3) \overline{( z_1 z_2 + z_1 z_3 + z_2 z_3)} \\ & = | z_1 z_2 |^2 + | z_1 z_3 |^2 + | z_2 z_3 |^2 + 2 \Re \left( z_1 z_2 \overline{z_1} \overline{z_3} + z_1 z_2 \overline{z_2} \overline{z_3} + z_1 z_3 \overline{z_2} \overline{z_3}\right) \\ & = 1 + 1 + 1 + 2 \Re (z_2 \overline{z_3}+ z_1 \overline{z_3} + z_1 \overline{z_2}) \\ & = 3 + (-3) = 0 \end{aligned} $$yang berakibat bahwa $z_1 z_2 + z_1 z_3 + z_2 z_3=0$. Dari sini, $$ \begin{aligned} z_1^2 + z_2^z + z_3^2 = (z_1 + z_2 + z_3)^2 – 2 (z_1 z_2 + z_1 z_3+z_2 z_3) = 0 – 2 \cdot 0 = 0. \end{aligned} $$
Soal 2
Diberikan $S$ adalah sebuah domain (himpunan terbuka dan terhubung) dan $\gamma$ adalah sebuah sebuah kurva tertutup di dalam $S$. Buktikan bahwa $$\int_\gamma \overline{f(z)}f'(z) dz$$ bernilai imajiner murni.
Jawab. Untuk menunjukkan bahwa $$\int_\gamma \overline{f(z)}f'(z) dz $$bernilai imajiner murni, cukup menunjukkan bahwa $$\Re \left(\int_\gamma \overline{f(z)}f'(z) dz \right) = 0. $$yang ekuvalen dengan menunjukkan bahwa $$\int_\gamma \Re \left(\overline{f(z)}f'(z)\right) dz = 0$$ Perhatikan bahwa karena $f$ analitik, maka dengan kriteria Cauchy-Riemann, $u_x = v_y$ dan $u_y = -v_x$ sehingga dengan Teorema Green,
$$ \begin{aligned} \int_\gamma \Re \left(\overline{f(z)}f'(z)dz\right) & = \int_{\gamma} \Re [(u-iv) (u_x+iv_x) (dx+idy)] \\ & = \int_{\gamma} uu_x dx – uv_x dy + vu_x dy + vv_xdx \\ & = \int_\gamma (uu_x + vv_x) dx + (vu_x – uv_x) dy \\ & = \int_\gamma (uu_x + vv_x) dx + (uu_y + vv_y) dy \\ & = \frac12 \int_\gamma \partial_x(u^2 + v^2) dx + \partial_y(u^2+v^2) dy \\ & = \int_D \left(\partial_{yx}(u^2 + v^2) dx – \partial_{xy}(u^2+v^2) dy\right) dxdy \\ & = \int_D \left(\partial_{xy}(u^2 + v^2) dx – \partial_{xy}(u^2+v^2) dy\right) dxdy \\ & = 0. \end{aligned}$$
Oleh karena itu, $$\int_\gamma \overline{f(z)}f'(z) dz$$ bernilai imajiner murni.
Demikian postingan kali ini tentang persiapan ONMIPA 2025 terutama Pembahasan Soal ONMIPA 2016 Analisis Kompleks Tingkat Wilayah . Jika Anda tertarik dengan postingan lainnya tentang pembahasa soal ONMIPA atau KNMIPA, Anda dapat beralih ke link ini. Jika Anda teratrik dengan postingan di topik lainnya, silahkan ke link sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
