Last Updated on Oktober 5, 2025 by prooffic
Postingan kali ini membahas tentang pembahasan soal ONMIPA 2025 Analisis Real Tingkat Wilayah. Pembahasan ini mencakup materi tentang barisan dan fungsi.
Lihat Juga:
Pembahasan Soal ONMIPA 2024
Pembahasan Soal ONMIPA Analisis Real
Pembahasan Soal Analisis Real — Buku Bartle dan Sherbert
**Selamat Menikmati**
Soal Isian
Soal 1
Nilai dari $$\sum_{i=0}^n \frac1{i+1} \binom{n}{i} $$adalah …
Jawab. Perhatikan bahwa $$(1+x)^n = \sum_{i=0}^n x^i \binom{n}{i} $$Integralkan kedua ruas maka diperoleh $$\frac1{n+1} (1+x)^{n+1} = \sum_{i=0}^n \frac1{i+1} x^{i+1} \binom{n}{i} $$kemudian kalikan dengan $1/x$ dengan $x \neq 0$ sehingga $$\frac1{n+1} \frac1x (1+x)^{n+1} = \sum_{i=0}^n \frac1{i+1} x^i \binom{n}{i} $$Pilih $x=1$, maka $$\sum_{i=0}^n \frac1{i+1} x^i \binom{n}{i} = \frac{2^{n+1}}{n+1}$$
Soal 2
Jika $A_1, A_2, \cdots A_k$ adalah bilangan real non-negatif, maka $$\lim_{n\to\infty} (A_1^n + A_2^n + \cdots A_n^k)^{1/n} = \cdots$$
Jawab. Misalkan $M= \max_{i=1, \cdots, k} A_k$. Maka, $$M \leq (A_1^n + A_2^n + \cdots A^n_k)^{1/n} \leq M k^{1/n} $$Karena $\lim_{n\to \infty} k^{1/n} = 1$, maka berdasarkan teorema Apit pada ketaksamaan sebelumnya diperoleh $$M \leq \lim_{n\to\infty} (A_1^n + A_2^n + \cdots A^n_k)^{1/n} \leq M \lim_{n\to\infty} k^{1/n} = M $$dan $$\lim_{n\to\infty} (A_1^n + A_2^n + \cdots A_n^k)^{1/n} = M = \max_{i=1, \cdots, k} A_k$$
Soal 3
Diberikan fungsi terdiferensial $f$ dan $g$ pada $(0,\infty)$. Jika untuk setiap $x\in (0,\infty)$ memenuhi $$xf'(x)+g(x) = 0 $$dan $$xg'(x) + f(x) = 0, $$maka $$\{ x \in (0,\infty) : f(x) – g(x) = 2025x \} = \cdots $$
Jawab. Perhatikan bahwa untuk $x$ dengan $f(x) – g(x) =2025x$ diperoleh $$\begin{aligned} (xf'(x)+g(x)) – (xg'(x)+f(x)) & = 0 \\ x(f'(x)-g'(x)) + g(x) – f(x) & 0 \\ x (f'(x) – g'(x)) -2025x & = 0\\ f'(x) – g'(x) = 2025 \end{aligned}$$
Selanjutnya misalkan $h(x) = f(x) – g(x)$ pada $(0,\infty)$. Maka, $$\begin{aligned} x h'(x) – h(x) & = x (f'(x) – g'(x)) – (f(x) – g(x)) \\ & = (xf'(x) + g(x)) – (xg'(x) + f(x)) \\ & = 0 \end{aligned} $$sehingga $$x h'(x) = h(x) $$Dengan menyelesaikan persamaan linear biasa tersebut, diperoleh bahwa $$h(x) = C x $$dengan $C$ adalah konstanta. Dari sini, untuk $x$ dengan $$C x = h(x) = f(x) – g(x) =2025x $$maka haruslah $2025 = f'(x) – g'(x) = h'(x) = C$ dan diperoleh $C = 2025$.
Oleh karena itu, $h(x) = 2025x$. Akibatnya, $f(x) – g(x) = 2025x$ untuk setiap $x \in (0,\infty)$. Jadi, $$\{ x \in (0,\infty) : f(x) – g(x) = 2025x \} = (0, \infty) $$
Soal Uraian
Soal 1
Diberikan barisan bilangan real $(a_n)$ dan $(b_n)$ yang masing-masing konvergen ke bilangan real $\alpha$ dan $\beta$. Jika untuk setiap $n \geq 0$ didefinisikan $$S_n = \frac1{n+1} \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}, $$buktikan bahwa $S_n$ konvergen $\alpha\beta.$
Jawab. Misalkan $$U_n = \frac1n \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}, \quad n \geq 0. $$Perhatikan bahwa $\lim_{n \to \infty} U_n = \alpha\beta$ dan buktinya dapat dilihat pada Soal ONMIPA 2023 Analisis Real Uraian Nomor 1. Selanjutnya, $$S_n = \frac{n}{n+1} U_n $$sehingga $$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} \cdot \lim_{n \to \infty} U_n = 1 \cdot \alpha \beta = \alpha \beta. $$Jadi, $S_n$ konvergen $\alpha\beta.$
Soal 2
Jika fungsi kontinu $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ mempunyai derivatif hingga tingkat 2 pada $(a,b)$ dengan sifat $f(a) = f(b)$ dan setiap $x \in [a,b]$ berlaku $f”(x) – 2 f'(x) + f(x) \leq 0$, buktikan bahwa $$\inf \{ f(x) : x \in [a,b] \} = f(a). $$
Jawab. Tanpa mengurangi keumuman, dapat diasumsikan bahwa $f(a) = 0 = f(b).$ Oleh karena itu, cukup ditunjukkan bahwa $f(x) \geq 0$ untuk setiap $x\in (a,b).$ Tinjau fungsi $g: [a,b] \to \mathbb{R}$ dengan $g(x) = e^{-x} f(x)$. Dapat dicek bahwa $g(a) = g(b) =0$ dan $$g”(x) = e^{-x} (f”(x) – 2f’ (x) + f(x)) \leq 0 $$berdasarkan asumsi sehingga $g”(x) \leq 0$ untuk setiap $x \in [a,b]$.
Oleh karena itu, $g$ adalah fungsi konkav pada $[a,b]$. Andaikan bahwa terdapat $x_0 \in (a,b)$ sedemikian sehingga $g(x_0) < 0$. Maka, dengan memilih $0<t<1$ sehingga $ta+(1-t)b = x_0$ diperoleh $$g(x_0) = g(ta+(1-t)b) \geq t g(a) + (1-t) g(b) = 0 $$tetapi $g(x_0) < 0$. Hal tersebut tidak mungkin terjadi. Akibatnya, haruslah $g(x) \geq 0$ untuk setiap $(a,b)$ yang mengimplikasikan bahwa $f(x) \geq 0$ untuk setiap $x\in [a,b]$. Jadi, dapat disimpulkan bahwa $$\inf \{ f(x) : x \in [a,b] \} = f(a). $$
Demikian postingan kali ini tentang pembahasan soal ONMIPA 2025 Analisis Real Tingkat Wilayah. Jika Anda tertarik dengan postingan lainnya tentang ONMIPA, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan postingan dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga bermanfaat. Sekian dan terima kasih.
