Last Updated on Agustus 10, 2025 by prooffic
Postingan kali ini akan membahas tentang pembahasan soal ONMIPA 2023 Matematika – Analisis Real Tingkat Nasional. Terdapat 2 soal pada pembahasa ini. Soal pertama mencakup materi tentang barisan dan turunan fungsi. Sementara itu, soal kedua tentang barisan fungsi.
***Selamat Menikmati***
Soal 1 – Soal Hari Pertama
Diberikan barisan bilangan real $(x_n)$ dan fungsi bernilai real $f$ dan $g$.
- Jika barisan $(x_n)$ didefinisikan dengan $$x_n = \int_1^n \frac{\sin t}{t^2} dt, $$buktikan barisan $(x_n)$ konvergen.
- Jika fungsi $f$ kontinu dan $g$ terdiferensialkan pada $\mathbb{R}$ dengan $$(g'(1)-f(1)(f(0)-g'(0))>0, $$buktikan bahwa terdapat $c\in (0,1)$ sehingga $g'(c)-f(c) = 0$.
Jawab.
- Perhatikan bahwa barisan $(x_n)$ adalah barisan monoton naik, yaitu $$x_{n+1} = \int_1^{n+1} \frac{\sin t}{t^2} \geq \int_1^n \frac{\sin t}{t^2} = x_n $$untuk setiap bilangan asli $n$. Selain itu, Perhatikan bahwa $t^2 \geq t$ untuk $t\geq 1$ sehingga $$x_n = \int_1^n \frac{\sin t}{t^2} dt \leq \int_1^n \frac{\sin t}{t} dt < \int_0^\infty \frac{\sin t}{t} dt = \frac{\pi}2 $$yang berakibat bahwa $(x_n)$ terbatas di atas. Karena $(x_n)$ monoton naik dan terbatas di atas, maka barisan tersebut konvergen. Jadi, barisan $(x_n)$ konvergen.
- Tinjau fungsi $h(x) = g'(x)-f(x)$ pada $[0,1]$. Karena $$(g'(1)-f(1)(f(0)-g'(0))>0, $$maka $$(g'(1)-f(1)(g'(0)-f(0))<0 $$sehingga $h(1) = g'(1)-f(1)$ dan $h(0) = g'(0)-f(0)$ berlain tanda dan keduanya tidak sama dengan nol. Oleh karena itu, berdasarkan teorema letak akar, diperoleh bahwa terdapat $c \in (0,1)$ sedemikian sehingga $h(c)=0$ sehingga $g'(c) – f(c) = 0$. Jadi, dapat disimpulkan bahwa terdapat $c\in (0,1)$ sehingga $g'(c)-f(c) = 0$.
Baca Juga:
Pengumuman Pelaksanaan ONMIPA 2025
Pembahasan Soal ONMIPA 2024
Pembahasan Soal ONMIPA 2023
Soal 2 – Soal Hari Kedua
Diketahui bahwa untuk setiap $n \in \mathbb{N}$, fungsi $g_n : [a,b] \to \mathbb{R}$ terintegral Riemann pada $[a,b]$. Jika untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ dan untuk setiap $x\in [a,b]$ berlaku $|g_n (x) | \leq 2023$ dan barisan $(g_n)$ konvergen ke fungsi $g$ yang terintegral Riemann pada $[a,b]$, selidiki apakah $$\lim_{n \to \infty} \int_a^b g_n (x) dx = \int_a^b g(x) dx. $$Tuliskan penjelasan Saudara!
Jawab. Dengan asumsi tersebut, kesamaan tersebut berlaku. Untuk menunjukkannya, terlebih dahulu didefinisikan notasi yang akan digunakan. Misalkan $I = (a,b)$ adalah interval buka terbatas, dituliskan $\ell (I) = b-a$ dan $\mathcal{I}$ adalah koleksi himpunan buka terbatas.
Misalkan $E$ adalah subset dari bilangan real. Didefinisikan $$\mathcal{m} (E) = \inf \left\{ \sum_{k \in \mathbb{N}} \ell (I_k) \, : \, I_k \in \mathcal{I}, E \subseteq \cup_{k \in \mathbb{N}} I_k \right\}.$$
Untuk $E \subseteq [a,b]$ dan $g : [a,b] \to \mathbb{R}$, didefinisikan $g_{E}$ dengan $g_{E} (x) = g(x)$ untuk $x \in E$ dan $g_{E} (x) = 0$ untuk $x \in [a,b] \setminus E$. Notasi ini akan digunakan untuk mendefinisikan integral Riemann pada $E$.
Akan ditunjukkan bahwa $$\lim_{n \to \infty} \int_a^b g_n (x) dx = \int_a^b g(x) dx. $$Diberikan sebarang $\varepsilon > 0$. Berdasarkan teorema Egorov, maka terdapat himpunan $E\subseteq [a,b]$ sedemikian sehingga $(g_n)$ konvergen seragam ke $g$ pada $E$ dan $m ( [a.b] \setminus E) < \frac{\varepsilon}{4 \cdot 2023}$.
Karena $(g_n)$ konvergen seragam ke $f$ pada $E$, maka ada $N \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $$|g_n(x) – g(x)| < \frac{\varepsilon}{4 \cdot 2023}, \quad x \in E, \, n \geq N. $$Dari sini, untuk $n \geq N$ diperoleh bahwa $$ \begin{aligned} \left| \int_a^b g_n(x) dx – \int_a^b g(x) dx \right| & \leq \int_a^b |g_n(x) – g(x)| dx \\ & = \int_a^b | (g_n)_{E} (x) – g_{E} (x)| dx + \int_a^b | (g_n)_{[a,b] \setminus E} (x) – g_{[a,b] \setminus E} (x) dx \\ & < \frac{\varepsilon}4 (2 \cdot 2023) + 2 \cdot 2023 \mathcal{m} ([a,b] \setminus E) \\ & < \frac{\varepsilon}2 + \frac{\varepsilon}2 = \varepsilon. \end{aligned}$$
Dari sini, dapat disimpulkan bahwa $$\lim_{n \to \infty} \int_a^b g_n (x) dx = \int_a^b g(x) dx$$
Demikian postingan kali ini tentang pembahasan soal ONMIPA 2023 Matematika – Analisis Real Tingkat Nasional.
