Last Updated on Juli 28, 2021 by prooffic
Postingan kali ini akan menyajikan mengenai Pembahasan Soal ONMIPA 2018 Aljabar Linear Tingkat Nasional Hari Pertama. Soal yang dibahas kali ini mencakup materi matriks serta submaterinya seperti determinan, nilai eigen, ruang eigen dan hubungan-hubungannya. Untuk itu, terlebih kita akan menyajikan beberapa terkait dengan hal dasar tersebut.
**Selamat menikmati**
Pendahuluan
Misalkan $A$ adalah matriks persegi berukuran $n \times n$ dengan entri-entri real dan ditulis dengan $A \in \mathbb{R}^{n \times n}.$ Nilai eigen dari $A$ adalah nilai $\lambda$ yang memenuhi $$\det (\lambda I – A)=0$$Sedangkan, vektor eigen dari $A$ terkait dengan nilai $\lambda$ adalah vektor $x \in \mathbb{R}^n$ yang memenuhi $$Ax = \lambda x $$Perhatikan bahwa $\lambda = 0,$ adalah nilai eigen dari $A,$ jika dan hanya jika determinan dari $A$ adalah $0.$
Selain fakta tersebut, berikut ini adalah beberapa fakta mendasar lainnya terkait dengan matriks $A.$
- Jika $A$ memiliki paling sedikit dua baris yang berkelipatan, maka $\det A = 0.$
- Jika $A$ memiliki paling sedikit dua kolom yang berkelipatan, maka $\det A = 0.$
- Ruang baris dari $A$ sama dengan ruang kolom $A^T.$
- Ruang kolom dari $A$ sama dengan ruang baris $A^T.$
- Kita punya fakta bahwa $$Rank (A) + Nul (A) = n $$dengan $Rank (A)$ adalah dimensi dari ruang kolom $A$ dan $Nul (A)$ adalah dimensi dari ruang null dari $A$.
Soal
Misalkan $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ dengan $k_1, k_2, \cdots , k_n \in \mathbb{R}^n$ adalah vektor-vektor kolom dari $A.$ Vektor-vektor kolom tersebut memenuhi hubungan $$k_i = (i+2) k_{i+2}, $$dengan $i = 1, 2, \cdots, (n-2).$ Untuk $n>3,$ pilihlah satu nilai eigen $A$ kemudian tentukan dimensi terkecil yang mungkin untuk ruang eigen dari nilai eigen yang dipilih.
Baca Juga:
Kumpulan Pembahasan Soal ONMIPA/KNIMPA Tingkat Nasional
Kumpulan Pembahasan Soal KNMIPA 2020
Kumpulan Pembahasan Soal KNMIPA 2021
Kumpulan Pembahasan Soal Aljabar Linear
Jawab
Perhatikan bahwa dari asumsi sifat vektor-vektor kolom yang dimiliki oleh $A,$ maka terdapat vektor kolom dari $A$ yang saling berkelipatan. Akibatnya, salah satu nilai eigen dari $A$ adalah $0.$ Ini berdasarkan pada fakta-fakta yang telah disebutkan sebelumnya. Dengan nilai eigen $\lambda = 0$ tersebut, kita akan menentukan dimensi ruang eigen terkecil yang mungkin untuk nilai eigen tersebut.
Ruang eigen $A$ yang berkaitan dengan nilai eigen $\lambda = 0$ adalah $x$ sedemikian sehingga $Ax = 0.$ Dengan kata lain, Ruang eigen tersebut adalah sama dengan ruan Null dari matriks $A.$ Sehingga, dimensi ruang eigen tersebut sama dengan dimensi ruang Null $A,$ yaitu $Nul (A).$ Dengan fakta 5 di atas, kita akan mencari nilai terkecil yang mungkin untuk $Nul (A).$
Misal $k_1, k_2, \cdots , k_n \in \mathbb{R}^n$ adalah vektor-vektor kolom dari $A$ dan memenuhi hubungan $$k_i = (i+2) k_{i+2}, $$dengan $i = 1, 2, \cdots, (n-2).$ Dari sini, dapat ditulis $$\begin{aligned}A &= \begin{pmatrix} k_1&k_2&k_3& \cdots k_{n-2}&k_{n-1}&k_n \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 3k_3&4k_4&5k_5& \cdots & nk_n & k_{n-1}&k_n \end{pmatrix}\end{aligned} $$
Oleh karena itu, $$A^T = \begin{pmatrix} 3k_3 \\ 4k_4 \\ 5k_5 \\ \vdots \\ nk_n \\ k_{n-1} \\ k_n \end{pmatrix} $$Sehingga, kita dapat melihat bahwa terdapat paling sedikit 2 baris yang saling berkelipatan pada $A^T,$ yaitu baris ke $n-3$ dengan $n-1$ serta baris ke $n-2$ dengan $n.$
Dari sini, akan terdapat paling banyak $n-2$ baris yang tidak saling bebas. Akibatnya, dimensi dari ruang baris $A^T$ paling banyak $n-2.$ Dari sini, karena dimensi dari ruang baris $A^T$ sama dengan dimensi dari ruang kolom $A$ ($Rank (A)$), maka $Rank (A \leq n-2).$ Kita kemudian peroleh bahwa $$Nul (A) = n – Rank (A) \geq n – (n-2) = 2$$
Jadi, dimensi terkecil yang mungkin dari Ruang nol $A$ adalah $1.$ Oleh karena itu, dimensi ruang eigen $A$ untuk nilai eigen $\lambda$ paling kecil adalah $2.$
Demikian postingan kali ini tentang Pembahasan Soal ONMIPA 2018 Aljabar Linear Tingkat Nasional Hari Pertama. Jika Anda tertarik dengan pembahasan soal ONMIPA/KNMIPA lainnya, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan materi / topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
