Last Updated on Juli 18, 2021 by prooffic
Pembahasan soal analisis real – Daily Math Problem yang pertama ini adalah terkait dengan Hubungan $\varepsilon – \delta$ pada pembuktian limit fungsi / kekontinuan, teorema Rolle, dan integral Riemann. Soal berikut merupakan soal Ujian Akhir Semester mata kuliah Analisis Real Semester Genap TA 2020 – 2021, 17 Juli 2021 yang dikirimkan oleh seorang teman dari salah satu perguruan tinggi di Indonesia.
**Selamat menikmati**
Pendahuluan
Pembahasan soal analisis real – Daily Math Problem pertama ini kita mulai dengan sedikit komentar terkait soal-soal yang ada. Ide penyelesaian soal terutama soal nomor 1 pada dasarnya dapat Anda temukan pada mata kuliah kalkulus I. Perbedaannya mungkin terletak pada kompleksitas dari fungsi yang diberikan. Soal nomor dua adalah mengenai Teorema Rolle. Teorema tersebut merupakan salah satu hasil yang menarik dalam teori turunan. Dengan teorema ini, kita dapat menurunkan beberapa teorema terkenal lainnya, seperti teorema nilai rata-rata turunan.
Bunyi dari teorema Rolle disajikan pada soal berikut. Teorema Rolle pada dasarnya memberitahukan kita bahwa setiap fungsi terdiferensial pada interval kompak memiliki paling sedikit satu garis garis singgung yang berupa garis horizontal (sejajar sumbu-$x$).
Soal ketiga adalah merupakan soal terkait dengan Integral Riemann. Kita diminta untuk menentukan nilai integral suatu fungsi tertentu. Pada dasarnya, fungsi yang diberikan memudahkan kita untuk mengevaluasi nilai integralnya karena fungsi tersebut adalah fungsi kontinu yang memungkinkan kita untuk menggunakan teorema Dasar Kalkulus. Beda ceritanya jika fungsi yang disajikan bukan merupakan fungsi kontinu, seperti fungsi Thomae.
Soal 1 – Kekontinuan fungsi
Diberikan fungsi $f : [-2,2] \to \mathbb{R}$ didefinisikan dengan $$f(x) = \begin{dcases} \frac{x^2 – 4}{|x| – 2} &; x \in (-2,2) \\ 4&; x \notin (-2,2) \end{dcases} $$
(a). Tenukan nilai $\delta_1$ sedemikian sehingga setiap $x \in [-2,2]$ dan $$|x+2|<\delta_1 $$berlaku $$|f(x)-f(-2)|<0,01$$
(b). Tentukan nilai $\delta_2$ sedemikian sehingga untuk setiap $x \in [-2,2]$ dan $$|x-2|<\delta_2 $$berlaku $$|f(x) – f(-2)|<0,01$$
(c). Apakah $\delta_1$ dan $\delta_2$ pada (a) dan (b) dapat dipilih dengan nilai yang sama? Mengapa?
(d). Apakah fungsi $f$ kontinu seragam (uniformly continuous) pada interval $[-2,2]?$
Jawab
Sebelumnya, perhatikan bahwa untuk setiap $x \in (-2,2),$ kita punya $$x^2 – 4 = |x|^2 – 4 = (|x-2|)(|x|+2) $$yang berakibat bahwa $$\begin{aligned}\frac{x^2 – 4}{|x| – 2} &= \frac{(|x-2|)(|x|+2)}{|x| – 2}\\ & = |x|+2 \end{aligned} $$Dengan mengamati untuk $x = -2,2$, dapat ditulis bahwa $$\begin{aligned} f(x) &= \begin{dcases} \frac{x^2 – 4}{|x| – 2} &; x \in (-2,2) \\ 4&; x \notin (-2,2) \end{dcases} \\ &= |x|+2 \end{aligned} $$Bentuk tersebut akan memudahkan kita dala menjawab (a)-(d).
(a). Perhatikan bahwa untuk $x \in [-2,2],$ dengan ketaksamaan segitiga, kita punya bahwa $$\begin{aligned}|f(x)-f(-2)| &= ||x|+2 – (4)| \\ &=||x| – |-2||\\ & \leq |x-(-2)| \\ &=|x+2|<\delta_1 \end{aligned} $$Oleh karena itu, kita dapat memilih $\delta_1 = 0,01.$ Anda dapat mengecek kembali bahwa nilai tersebut memenuhi.
(b) Serupa dengan (a), kita peroleh bahwa untuk $x \in [-2,2],$ berlaku $$\begin{aligned}|f(x)-f(2)| &= ||x|+2 – (4)| \\ &=||x| – |2||\\ & \leq |x-2|<\delta_1 \end{aligned}$$Oleh karena itu, kita dapat memilih $\delta_1 = 0,01.$ Anda dapat mengecek kembali bahwa nilai tersebut memenuhi.
(c) Dari bagian (a) dan (b), pada ketaksamaan di bagian akhir (untuk $|f(x)-f(c)|$ dengan $c = \pm 2$), kita dapat memberikan kuantitas yang sama, yaitu kurang dari $0,01.$ Jelas bahwa kita dapat memilih $\delta_1$ dan $\delta_2$ dengan nilai yang sama, yaitu $\delta_1 = \delta_2 = 0,01.$
(d) Perhatikan bahwa untuk setiap $x, y \in [-2,2],$ kita punya $$\begin{aligned} |f(x) – f(y)| &= |(|x|+2) – (|y|+2)| \\ &= ||x|-|y|| \\ & \leq |x-y| \end{aligned} $$Sehingga, untuk sebarang $\varepsilon>0,$ pilih $\delta = \varepsilon.$ Maka, untuk setiap $x, y \in [-2,2]$ dengan $$|x-y|<\delta$$ kita punya $$\begin{aligned} |f(x) – f(y)| &= |(|x|+2) – (|y|+2)| \\ &= ||x|-|y||\\ & \leq |x-y| \\ &< \delta = \varepsilon \end{aligned} $$Ini membuktikan bahwa $f$ kontinu seragam pada $[-2,2]$
Soal 2 – Teorema Rolle
Diberikan Teorema Rolle sebagai berikut.
Diberikan $f$ fungsi kontinu pada interval tutup $I = [a,b]$ dan deferensiabel pada interval buka $(a,b)$ serta $f(a) = f(b) = 0,$ maka ada paling sedikit satu titik $c$ sedemikian sehingga $f'(c) = 0.$
(a). Tentukan hipotesis dan kesimpulan dari Teorema Rolle!
(b). Jika pernyataan $f(a) = f(b) = 0$ diganti dengan $f(a) = f(b)$ dan kesimpulan tetap, apakah pernyataan masih bernilai benar? Tunjukkan!
Jawab
(a). Dari teorema yang dinyatakan tersebut, maka hipotesis dari teorema Rolle adalah $f$ merupakan fungsi kontinu pada interval $[a,b],$ terdiferensial pada interval $(a,b)$ serta memenuhi bahwa $f(a) = f(b) = 0.$ Sedangkan, kesimpulan dari teorema Rolle adalah ada paling sedikit satu titik $c$ sedemikian sehingga $f'(c) = 0.$
(b). Asumsikan bahwa pernyataan $f(a) = f(b) = 0$ diganti dengan $f(a) = f(b).$ Kita akan menunjukkan bahwa pernyataan masih bernilai benar. Untuk itu, misalkan bahwa $f(a) = f(b) = k$ dengan $k$ adalah konstanta bernilai real. Tinjau fungsi $g$ yang didefinisikan pada $[a, b]$ dengan $$g(x) = f(x) – k $$untuk setiap $x \in [a,b].$ Berdasarkan sifat linearitas dari kekontinuan fungsi dan fakta bahwa fungsi konstan kontinu, maka $g$ kontinu pada $[a, b].$
Kemudian, dengan sifat linearitas dari turunan dan fakta bahwa fungsi konstan diferensiabel, maka $g$ diferensiabel pada $(a, b).$ Dari sini, $g$ memenuhi hipotesis Teorema Rolle sebagaiman disebut pada bagian (a) dengan $$\begin{aligned} g(a) &= f(a) – k = k – k = 0 \\ g(b) & = f(b) – k = k – k = 0 \end{aligned} $$Oleh karena itu, terdapat paling sedikit satu titik $c$ sedemikian sehingga $g'(c) = 0.$ Karena turunan dari fungsi konstan adalah fungsi nol, maka $g'(x) = f'(x)$ untuk setiap $x \in (a,b).$ Oleh karena itu, $$f'(c) = g'(c) = 0 $$Jadi, ada paling sedikit satu titik $c$ sedemikian sehingga $f'(c) = 0.$ Sehingga, kesimpulan tetap (pernyataan masih bernilai benar).
Soal 3 – Integral Riemann
Diberikan fungsi $f : [0,5] \to \mathbb{R}$ didefinisikan dengan $f(x) = x – 1.$ Tentukan (nilai) Integral Riemann dari $f$ dan $$F(x) = (R) \int_{0}^{x} f(t) dt$$
Jawab
Perhatikan bahwa karena antituruna dari $f(x) = x – 1$ adalah fungsi $g$ yang didefinisikan $$g(x) = \frac{1}{2} x^2 – x $$Ini dapat ditentukan dengan menggunakan aturan pangkat. Dari sini, dengan teorema dasar kalkulus, diperoleh bahwa $$\begin{aligned} (R)\int_{0}^{5} f(x) dx &= (R)\int_{0}^{5} (x – 1) dx \\ & =g(5) – g(0) \\ &= \left(\frac{1}{2} (5)^2 – 5\right) – \left(\frac{1}{2} (0)^2 – 0\right) \\ &=\frac{15}{2}\end{aligned} $$
Selain itu, $$\begin{aligned} F(x) &= (R) \int_{0}^{x} f(t) dt \\ &= g(t)|_{t = 0}^{t = x} \\ & = g(x) – g(0) \\ & = \left(\frac{1}{2} (x)^2 – x\right) – \left(\frac{1}{2} (0)^2 – 0\right) \\ & = \frac{x^2}{2} – x \end{aligned} $$Jadi, Integral Riemann dari $f$ adalah $15/2$ dan $$F(x) = (R) \int_{0}^{x} f(t) dt = \frac{x^2}{2} – x$$
Demikian kali ini mengenai Pembahasan soal analisis real – Daily Math Problem yang pertama ini. Jika Anda tertarik dengan soal-soal pada Daily Math Problem, silahkan ke sini. Apbila Anda memiliki soal-soal ujian, tugas maupun soal lainnya, Anda dapat mengirimkan kepada kami lewat email di proofficialid@gmail.com dengan subjek (judul email) Daily Math Problem. Setelah kami mengerjakannya, kami akan menayangkan di kategori Daily Math Problem Proofficial.id. Dan jika Anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
