Last Updated on Juli 23, 2021 by prooffic
Postingan kali ini akan menyajikan pembahasan mengenai Daily Math Problems 3 – Penerapan Rumus Integral Cauchy. Soal berikut merupakan soal seleksi knmipa UI 2021 dan merupakan bagian dari topik Analisis Kompleks, terutama terkait dengan Integral Kompleks pada Kontur. Soalnya adalah sebagai berikut.
Misalkan $C$ adalah kontur lingkaran satuan. Misalkan $f$ adalah fungsi analitik pada $C$ dan sisi dalam dari $C.$ Jika $$|f(z) – z^2| \leq |z^2|$$ untuk setiap $z \in C,$ buktikan bahwa $$\left| f’ \left( \frac{1}{4} \right)\right| \leq \frac{32}{9}$$
**Selamat Menikmati**
Pendahuluan
Terlebih dahulu kita menyajikan sifat-sifat yang digunakan dalam penyelesaian soal tersebut.
Lemma 1
Misalkan $f$ adalah fungsi kontinu pada $U \subseteq \mathbb{C}.$ Misalkan $\gamma$ adalah path pada $U$ (termasuk kontur sederhana yang tertutup). Maka, $$\left| \oint_{\gamma} f\right| \leq \Vert{f}\Vert _\gamma L(\gamma) $$dengan $$\Vert{f}\Vert_\gamma = \sup_{z \in \gamma} |f(z)| $$dan $L({\gamma})$ adalah panjang dari $\gamma.$
Ketaksamaan Segitiga
Untuk setiap $z_1, z_2 \in \mathbb{C},$ berlaku $$|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$$
Akibat Ketaksamaan segitiga
Untuk setiap bilangan kompleks $z_1, z_2$ berlaku $$||z_1|-|z_2|| \leq |z_1 – z_2|$$
Rumus Integral Cauchy
Misalkan $\overline{D}$ adalah cakram tutup dan $f$ analitik pada $\overline{D},$ yaitu pada $D$ dan juga pada lingkaran $C$ yang merupakan batas dari $D.$ Maka, untuk setiap $z_0 \in D,$ kita punya $$f(z_0) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{z – z_0} dz$$
Akibat Rumus Integral Cauchy
Misalkan $D$ adalah cakram buka dan $f$ analitik pada cakram tutup $\overline{D}.$ Misalkan $C$ adalah lingkaran yang merupakan batas dari $\overline{D}. Maka, $$f^{n} (z_0) = \frac{n!}{2 \pi i} \oint_{C} \frac{f(z)}{(z – z_0)^{n+1}} dz$$untuk setiap $z_0$ di dalam $D.$
Baca Juga:
Pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA Tingkat Nasional
Pembahasan Soal KNMIPA 2021
Aplikasi Rumus Integral Cauchy
Misalkan $C$ adalah kontur lingkaran satuan. Misalkan $f$ adalah fungsi analitik pada $C$ dan sisi dalam dari $C.$ Jika $$|f(z) – z^2| \leq |z^2|$$ untuk setiap $z \in C,$ buktikan bahwa $$\left| f’ \left( \frac{1}{4} \right)\right| \leq \frac{32}{9}$$
Jawab: Misalkan $C$ adalah kontur lingkaran satuan dan $f$ adalah fungsi analitik pada $C$ dan sisi dalam $C.$ Asumsikan bahwa $$|f(z) – z^2| \leq |z^2|$$ untuk setiap $z \in C.$ Akan dibuktikan bahwa $$\left| f’ \left( \frac{1}{4} \right)\right| \leq \frac{32}{9}$$
Sebelumnya perhatikan bahwa $1/4$ berada di sisi dalam $C.$ Berdasarkan akibat rumus integral Cauchy, maka kita akan peroleh bahwa $$f’ \left(\frac{1}{4} \right) = \frac{1!}{2 \pi i} \oint_{C} \frac{f(z)}{\left(z – \frac{1}{4} \right)^2} dz$$Selain itu, untuk sebarang $z \in C$ berdasarkan akibat ketaksamaan segitiga kita punya $$\left|z – \frac{1}{4} \right| \geq |z| – \left| \frac{1}{4} \right| = 1 – \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $$yang berakibat bahwa untuk setiap $z \in C,$ berlaku $$\left|\frac{1}{\left( z-\frac{1}{4}\right)^2}\right| \leq \frac{16}{9} \cdots (1)$$
Kemudian, dengan ketaksaman segitiga dan asumsi, diperoleh bahwa untuk setiap $z \in C,$ berlaku $$|f(z)| \leq |f(z) – z^2|+|z^2| \leq |z^2|+|z^2| $$Karena $|z^2| = |z|^2$ untuk setiap $z$ dan $|z| = 1$ untuk $z \in C,$ maka $$|f(z)| \leq 2 |z|^2 = 2 \cdots (2) $$Oleh karena itu, dari $(1)$ dan $(2),$ kita punya $$\left|\frac{f(z)}{\left( z-\frac{1}{4}\right)^2}\right| \leq \frac{2 \cdot 16}{9} = \frac{32}{9}$$ untuk setiap $z \in C.$ Akibatnya, $$\left\Vert{\frac{f(z)}{(z-1/4)^2}}\right\Vert_C \leq \frac{32}{9} $$Karena $L(C) = 2 \pi,$ maka dengan akibat rumus integral Cauchy, kita punya $$\begin{aligned} \left| f’ \left( \frac{1}{4} \right)\right| &\leq \left|\frac{1!}{2 \pi i} \oint_{C} \frac{f(z)}{\left(z – \frac{1}{4} \right)^{n+1}} dz \right| \\ &= \frac{1}{2 \pi i} \Vert{\frac{f(z)}{(z-1/4)^2}}_C L_(C) \\& \leq \frac{1}{2 \pi} \frac{32}{9} (2 \pi) \end{aligned} $$
Jadi, $$\left| f’ \left( \frac{1}{4} \right)\right| \leq \frac{32}{9}$$
Demikian postingan kali ini mengenai Daily Math Problems 3 – Penerapan Rumus Integral Cauchy. Jika Anda Tertarik dengan pembahasan Daily Math Problems lainnya, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
