Last Updated on Juli 28, 2021 by prooffic
Pada postingan kali ini, kami akan menyajikan pembahasan mengenai Daily Math Problems kedua, yaitu Himpunan Bilangan Diadik Padat di R. R yang dimaksud dini adalah himpunan bilangan real.
Sebelumnya menyajikannya, kita akan terlebih dahulu mengulas kembali lemma ataupu sifat yang akan digunakan. Salah satunya adalah sifat Archimedes.
**Selamat menikmati**
Pendahuluan
Lemma 1 (Sifat Archimedes)
Jika $x \in \mathbb{R},$ maka ada bilangan asli $n$ sedemikian sehingga $x \leq n$
Perhatikan bahwa pada lemma 1 tersebut, kita juga dapat mengambil $n$ sedemikian sehingga $x \leq n.$ Hal tersebut dilakukan dengan mengganti $n$ dengan $n+1.$
Akibat 1
Jika $x \in \mathbb{R}^{+},$ maka terdapat bilanga asli $n$ sedemikian sehingga $$\frac{1}{n} < x$$
Bukti: Karena $x \in \mathbb{R}^{+},$ maka $1/x > 0.$ Dengan sifat Archimedes, maka diperoleh bahwa terdapat bilangan asli $n$ sedemikian sehingga $$\frac{1}{x}<n $$yang berakibat bahwa $$\frac{1}{n}<x$$
Akibat 2
Jika $x \in \mathbb{R}^{+},$ maka terdapat bilanga asli $n$ sedemikian sehingga $$\frac{1}{2^n} < x$$
Bukti: Berdasarkan akibat 1, maka terdapat bilangan asli $n$ sedemikian sehingga $$\frac{1}{n}<x $$Karena $$n < 2^n $$untuk setiap bilangan asli $n,$ maka $$\frac{1}{2^n} < \frac{1}{n} < x $$Jadi, untuk setiap $x \in \mathbb{R}^{+},$ terdapat bilangan asli $n$ sedemikian sehingga $$\frac{1}{2^n} < x $$
Lemma 2
Diberikan sebarang $x \in \mathbb{R}.$ Maka, terdapat secara tunggal bilangan bulat $n \in \mathbb{Z}$ sedemikian sehingga $$n-1 \leq x < n$$
Lemma 2 tersebut memberitahu kita bahwa setiap bilangan real akan terletak pada suatu interval $[n-1, n)$ dengan $n$ adalah bilangan bulat. Interval tersebut adalah tunggal. Dengan kata lain, hanya ada satu interval seperti itu sehingga $x \in [n-1, n).$
Baca Juga:
Kumpulan Pembahasan ONMIPA/KNMIPA
Pembahasan Soal Analisis Real Introduction to Real Analysis by Bartle and Sherbert
Pembahasan Daily Math Problems – profficial.id
Himpunan Bilangan Diadik Padat di R
Suatu bilangan real $x$ dikatakan sebagai bilangan diadik jika berbentuk $$x = \frac{m}{2^n} $$untuk suatu bilangan bulat $m$ dan bilangan asli $n.$ Dapat kita lihat dengan mudah bahwa setiap bilangan diadik merupakan bilangan rasional. Tetapi, tidak semua bilangan rasional merupakan bilangan diadik, contohnya adalah $1/3.$
Dari sini, kita dapat definisikan himpunan bilangan diadik dengan $$\mathcal{H} = \left\{ \frac{m}{2^n} : m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}\right\} $$Dari pembahasan sebelumnya, diperoleh bahwa $$\mathcal{H} \subset \mathbb{Q} $$Kita juga telah mengetahui bahwa himpunan bilangan rasional adalah himpunan yang padat di $\mathbb{R}.$ Hal yang sama ternyata juga berlaku untuk himpunan bilangan diadik $\mathcal{H}$ sebagaimana dinyatakan dalam teorema berikut.
Teorema: Himpunan bilangan diadik merupakan himpunan yang padat di $\mathbb{R}$
Bukti: Diberikan sebarang bilangan real $x, y$ dengan $x < y.$ Maka, $y-x >0.$ Sehingga, dengan Akibat 2, terdapat bilangan asli $n$ sedemikian sehingga $$\frac{1}{2^n} < y-x $$Dari sini, $$1 < 2^n y – 2^n x $$dan $$1+2^n x < 2^n y \cdots (*)$$Kemudian, untuk $2^n x \in \mathbb{R},$ berdasarkan lemma 2, terdapat secara tunggal bilangan bulat $m$ sedemikian sehingga $$m-1 \leq 2^n x < m \cdots (**) $$Dari $(*)$ dan $(**),$ kita peroleh bahwa $$2^n x < m < 2^2n y $$Akibatnya, $$x < \frac{m}{2^n} < y $$
Oleh karena itu, untuk setiap $x, y \in \mathbb{R}$ dengan $x<y,$ terdapat bilangan bulat $m$ dan bilangan asli $n$ sedemikian sehingga $$x < \frac{m}{2^n} < y $$Jadi, himpunan diadik $\mathcal{H}$ padat di $\mathbb{R}.$
Akibat 3
Untuk setiap bilangan real $x,$ terdapat barisan bilangan diadik $(h_n) \subseteq \mathcal{H}$ sedemikian sehingga $h_n \to x.$
Bukti: Misal $x$ adalah sebarang bilangan real. Karena $\mathcal{H}$ padat di $\mathbb{R},$ maka terdapat bilangan diadik $h_1$ sedemikian sehingga $$x-1 < h_1 < x – 2 $$Kemudian, dengan argumen yang serupa, terdapat bilangan diadik $h_2$ sedemikian sehingga $$x – \frac{1}{2} < h_2 < x-\frac{1}{2} $$Dengan melanjutkan proses tersebut, kita peroleh barisan bilangan diadik $(h_n)$ sedemikian sehingga untuk setiap bilangan asli $n,$ berlaku $$x – \frac{1}{n} < h_n < x + \frac{1}{n} $$yang berakibat bahwa $$-\frac{1}{n} < h_n – x < \frac{1}{n} $$dan $$|h_n – x| < \frac{1}{n} $$Karena $1/n \to 0,$ maka diperoleh bahwa $h_n \to x.$
Oleh karea itu, barisan bilangan diadik konvergen ke $x.$ Jadi, Untuk setiap bilangan real $x,$ terdapat barisan bilangan diadik $(h_n) \subseteq \mathcal{H}$ sedemikian sehingga $h_n \to x.$
Demikian postingan kali ini tentang pembahasan mengenai Daily Math Problems kedua, yaitu Himpunan Bilangan Diadik Padat di R. Jika Anda tertarik dengan topik Daily Math Problems, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.