Last Updated on Februari 13, 2025 by prooffic
Postingan kali ini akan membahas tentang cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Persamaan Kuadrat merupakan materi dalam matematika yang diajarkan di tingkat SMA. Khusus untuk jurusan matematika, materi ini biasanya diajarkan pada mata kuliah Aljabar Elementer.
**Selamat Menikmati**
Pendahuluan
Pada materi tentang persamaan linear satu variabel, telah dibahas tentang persamaan satu variabel yang memiliki bentuk umum
$$px+q = r$$dengan $a,b,c\in\mathbb{R}$ dan $a\neq 0.$ Solusi dari persamaan tersebut dapat ditentukan dengan mudah, yaitu
$$x = \frac{c-b}{a}$$sehingga himpunan penyelesaian dari persamaan linear tersebut adalah
$$HP = \left\{\frac{r-q}{p}\right\}. $$
Lihat juga: Pembahasan Analisis Data
Pada postingan kali ini, akan dibahas pengembangan dari persamaan linear, yaitu dengan menambahkan satu suku baru yang memuat $x^2$ pada persamaan tersebut. Persamaan baru yang terbentuk memiliki bentuk $$ax^2 + bx +c = 0.$$
Terlihat bahwa persamaan tersebut memiliki 3 suku di ruas kiri dengan suku dengan pangkat tertinggi adalah $ax^2.$ Karena alasan ini, persamaan baru tersebut dinamakan sebagai Persamaan Kuadrat. Lebih lanjut, Persamaaan Kuadrat juga disebut sebagai persamaan polinomial berderajat dua.
Terdapat beberapa hal yang perlu diperhatikan pada persamaan kuadrat. Koefisien $a$ diasumsikan tidak sama dengan nol. Karena jika $a=0,$ maka persamaan (\ref{persamaan-kuadrat}) akan memiliki bentuk seperti (\ref{persamaan-linear}), yaitu $$\begin{aligned} ax^2 + bx + c & = 0 \\0\cdot x^2 + bx+ c & = 0 \\bx+c & = 0\end{aligned} $$sehingga persamaan kuadrat menjadi persamaan linear satu variabel yang bertentangan dengan nama/istilah yang telah diberikan, yaitu persamaan kuadrat.
Oleh karena itu, bentuk umum persamaan kuadrat adalah $$ax^2 + bx + c = 0 $$dengan $a,b,c\in\mathbb{R}$ dan $a\neq 0.$
Metode Penyelesaian Persamaan Kuadrat
Terdapat beberapa metode dalam menentukan solusi atau akar-akar persamaan kuadrat. Di antaranya adalah pemfaktoran, melengkapi kuadrat, dan menggunakan rumus yang biasanya dikenal dengan rumus ABC atau rumus kuadratik. Kita akan membahas ketiga metode tersebut dalam postingan ini.
Pemfaktoran
Cara pertama adalah dengan pemfaktoran yang dilakukan dengan mengubah persamaan kuadrat menjadi hasil kali dua buah bentuk aljabar yang masing-masing memuat suku dengan variabel $x$ dan konstanta. Terlebih dahulu perhatikan contoh berikut.
Contoh 1
Misalkan persamaan kuadrat $$x^2+4x+3=0. $$Untuk menjawabnya, kita mencari dua buah bilangan yang dikalikan nilainya $3$ dan dijumlahkan nilainya $4$.
Terlebih dahulu dibuat daftar bilangan yang hasil kalinya adalah $3$ sebagai berikut.
| $x_1$ | $x_2$ | $x_1+x_2$ |
|---|---|---|
| -1 | -3 | -4 |
| 1 | 3 | 3 |
Bilangan tersebut adalah $1$ dan $3$.
Oleh karena itu, $$\begin{aligned}x^2+4x+3 & = 0 \\ (x+3)(x+1) & = 0 \\ x+3 = 9 & \vee x+1 = 0 \\ x=-3 & \vee x=-1 \end{aligned} $$sehingga akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah $1$ dan $3$, yaitu $$HP = \{1,3\}.$$
Contoh 2
Misalkan persamaan kuadrat $$x^2-9x + 18=0$$Untuk menjawabnya, kita mencari dua buah bilangan yang dikalikan nilainya $18$ dan dijumlahkan nilainya $-9$ sebagaimana pada tabel berikut.
| $x_1$ | $x_2$ | $x_1+x_2$ |
|---|---|---|
| -1 | -18 | -19 |
| -2 | -9 | -11 |
| -3 | -6 | -9 |
| 1 | 18 | 19 |
| 2 | 9 | 11 |
| 3 | 6 | 9 |
Bilangan tersebut adalah $-6$ dan $-3$.
Oleh karena itu, $$\begin{aligned}x^2-9x+18 & = 0 \\ (x-6)(x-3) & = 0 \\ x-6 = 0 & \vee x-3 = 0 \\ x=6 & \vee x=3 \end{aligned} $$sehingga akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah $3$ dan $6$, yaitu $$HP = \{3,6\}.$$
Contoh 3
Misalkan persamaan kuadrat $$2x^2-3x + 1=0$$Metode untuk menyelesaikan persamaan tersebut berbeda dengan metode yang digunakan pada contoh-contoh sebelumnya.
Cara I:
Terlebih dahulu dituliskan $$(2x – y_1)(x – y_2)=0 $$sehingga dengan menguraikan persamaan tersebut diperoleh $$2x^2 – (2y_2 + y_1) x + y_1 y_2 = 0. $$Dengan membandingkannya dengan persamaan awal, yaitu $$2x^2-3x + 1=0$$ dengan membandingkan masing-masing koefisien dari $x$ dan konstantanya, maka$x_1$ dan $x_2$ adalah bilangan yang memenuhi $2y_2+y_1 = 3$ dan $y_1 y_2 = 1$.
Terlebih dahulu diidentifikasi bilangan-bilangan (bulat) yang hasil kalinya $1$, yaitu $-1$ dan $-1$ serta $1$ dan $1$. Dengan mendaftarkannya dalam bentuk tabel sebagai berikut.
| $y_1$ | $y_2$ | $2y_2+y_1$ |
|---|---|---|
| -1 | -1 | -3 |
| 1 | 1 | 3 |
Oleh karena itu, pasangan yang memenuhi adalah $y_1=1$ dan $y_2 = 1$. Akibatnya, diperoleh pemfaktoran dari $$2x^2-3x + 1=0 $$adalah $$\begin{aligned}(2x-1)(x-1) & = 0 \\ 2 x – 1 = 0 & \vee x – 1 = 0 \\ 2 x = 1 & \vee x – 1 = 0 \\ x =\frac12 & \vee x = 1 \end{aligned}$$dan nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=\frac12$ atau $x=1$. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $$\{\frac12, 1\}$$
Cara II:
Pada cara ini, kita kalikan persamaan tersebut dengan $2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned}4x^2-6x+2 & = 0 \\ (2x)^2 – 3 (2x) + 2 & =0. \end{aligned} $$Misalkan $y=2x$, maka $$y^2-3y+2=0 $$yang dapat difaktorkan menjadi $$(y-1)(y-2) = 0 $$sehingga $$y=1 \vee y=2. $$
- Untuk $y=1,$ diperoleh bahwa $1=2x$ dan $x=\frac12$.
- Untuk $y=2$, diperoleh $2=2x$ dan $x=1$.
Melengkapi Kuadrat
Cara kedua adalah melengkapi kuadrat. Cara ini biasanya digunakan apabila pemfaktoran sulit untuk dilakukan.
Tips menentukan apakah persamaan kuadrat dapat difaktorkan atau tidak: Tentukan nilai diskriminan dari persamaan tersebut, yaitu $D=b^2-4ac.$ Jika nilai akar dari $D$ adalah bilangan rasional, maka persamaan kuadrat tersebut dapat difaktorkan dengan mudah.
Berikut adalah contoh dalam menggunakan metode melengkapi kuadrat.
Contoh 1
Misalkan persamaan kuadrat $$x^2-x-1=0.$$
Jawab. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} x^2-x-1 & = 0 \\ \left(x-\frac12\right)^2 – \left(-\frac12\right)^2 – 1 & = 0 \\ \left(x-\frac12\right)^2 -\frac14 – 1 & = 0\\ \left(x-\frac12\right)^2 – \frac54 & = 0\\ \left(x-\frac12\right)^2 & = \frac54 \\ x-\frac12 & = \pm \sqrt{\frac54} = \pm \frac{\sqrt{5}}2 \end{aligned} $$sehingga $$x=\frac12 \pm \frac{\sqrt{5}}2.$$
Jadi, diperoleh $$x=\frac12+\frac{\sqrt{5}}2 $$atau $$x = \frac12 – \frac{\sqrt{5}}2.$$
Contoh 2
Misalkan persamaan kuadrat $$3x^2-4x-2=0.$$
Jawab. Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} 3x^2-4x-2 & = 0 \\ x^2 – \frac43 x – \frac24\\ \left(x-\frac12\right)^2 – \left(-\frac12\right)^2 – 1 & = 0 \\ \left(x-\frac12\right)^2 -\frac14 – 1 & = 0\\ \left(x-\frac12\right)^2 – \frac54 & = 0\\ \left(x-\frac12\right)^2 & = \frac54 \\ x-\frac12 & = \pm \sqrt{\frac54} = \pm \frac{\sqrt{5}}2 \end{aligned} $$sehingga $$x=\frac12 \pm \frac{\sqrt{5}}2.$$
Jadi, diperoleh $$x=\frac12+\frac{\sqrt{5}}2 $$atau $$x = \frac12 – \frac{\sqrt{5}}2.$$
Rumus Kuadratik
Cara ketiga adalah dengan menggunakan rumus kuadratik yang terkadang disebut juga dengan rumus kecap atau rumus ABC. Terlebih dahulu akan ditentukan rumus tersebut.
Penurunan rumus kuadratik persamaan kuadrat
Misalkan persamaan kuadrat $$ax^2+bx+c = 0 $$dengan $a,b,c\in\mathbb{R}$ dan $a\neq 0.$ Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} ax^2 + bx + c & = 0 \\ \left( ax^2 + bx + c\right) \cdot \frac1a & = 0 \cdot \frac1a \\ x^2 + \frac{b}a x + \frac{c}a & = 0 \\ \left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2 – \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}a & = 0 \\ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 – \frac{b^2 – 4ac}{2a} & = 0 \\ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 & = \frac{b^2 – 4ac}{4a^2} \\ x + \frac{b}{2a} & = \pm \sqrt{\frac{b^2 – 4ac}{4a^2}} \\ x & = – \frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|}. \end{aligned}$$
Karena $$ \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|} = \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$yang dapat ditunjukkan dengan membagi kasus untuk $+$ maupun $-$, maka diperoleh $$x_{12} = – \frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
Contoh 1
Misalkan $2x^2 – x -2 = 0$. Maka, $a=2, b = -1,$ dan $c=-2$ sehingga dengan rumus kuadratik diperoleh $$\begin{aligned} x_{12} & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(2)(-2)}}{2(2)}\\ & = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{4}\end{aligned} $$dan akar-akarnya adalah $$x = \frac{1 + \sqrt{17}}{4} $$atau $$x = \frac{1 – \sqrt{17}}{4}$$
Contoh 2
Misalkan $x^2 – 3x + 2 = 0$. Maka, $a=2, b = -1,$ dan $c=-2$ sehingga dengan rumus kuadratik diperoleh $$\begin{aligned} x_{12} & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(2)(-2)}}{2(2)}\\ & = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{4}\end{aligned} $$dan akar-akarnya adalah $$x = \frac{1 + \sqrt{17}}{4} $$atau $$x = \frac{1 – \sqrt{17}}{4}$$
Demikian postingan kali ini tentang menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Jika Anda tertarik dengan postingan lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
