Last Updated on Juli 28, 2021 by prooffic
Postingan kali ini akan menyajikan mengenai Pembahasan ONMIPA 2017 Aljabar Linear Tingkat Nasional. Pembahasan berikut mencakup soal hari pertama dan soal hari kedua. Materi yang termuat adalah tentang matriks dan submaterinya, seperti determinan, invers, trace, nilai eigen dan hubungan-hubungannya.
**Selamat menikmati**
Soal Hari Pertama
Misalkan $A$ dan $B$ adalah matriks dalam $\mathbb{R}^{n\times n}$ yang memenuhi persamaan $$AB^2 – 2 BAB + B^2 A = 0 $$Tentukan nilai eigen terbesar dari matriks $AB – BA.$
Jawab: Terlebih dahulu misalkan $M = AB-BA.$ Akan ditunjukkan bahwa $$tr (M^k) = 0$$ untuk setiap $k$ bilangan asli. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} AM – MA & =A (AB-BA) – (AB-BA) A \\ &= A^2 B -2 ABA +BA^2 = 0\end{aligned} $$Kemudian, kita akan peroleh bahwa $$M^k A = A M^k $$untuk setiap bilangan asli $k.$ Ini menunjukkan bahwa $M^k$ komutatif dengan $A$ untuk setiap bilangan asli $k.$ Dari sini, untuk setiap $k,$ berlaku bahwa $$\begin{aligned} M^k &= M^{k-1} M \\ &= M^{k-1} (AB-BA) \\ & =M^{k-1} AB – M^{k-1} BA M \\ &= A M^{k-1} B – M^{k-1} BA \end{aligned} $$Oleh karena itu, $$\begin{aligned}tr (M^k) &= tr((A M^{k-1}) B) – tr((M^{k-1} B)A) \\ &= tr((A M^{k-1}) B) – tr((A M^{k-1})B) \\&= 0 \end{aligned}$$
Sehingga, $$tr (M^k) = 0$$ untuk setiap $k$ bilangan asli. Selanjutnya adalah menunjukkan bahwa semua nilai eigen dari $M$ adalah nol dengan menggunakan metode kontradiksi. Untuk itu, andaikan bahwa terdapat $\lambda_1, \lambda_2 , …, \lambda_p$ nilai eigen dari $M$ yang masing-masing berbeda satu sama lain dan tidak bernilai nol.
Misalkan $n_1, …, n_r$ adalah masing-masing multiplisitas dari $\lambda_1, \lambda_2 , …, \lambda_p.$ Sehingga, $\lambda_1, \lambda_2 , …, \lambda_p$ tidak nol. Karena $tr (A^p)=0,$ maka $$\begin{aligned} n_1 \lambda_1+ n_2 \lambda_2 + \cdots + n_p \lambda_p &=0 \\ n_1 \lambda_1^2 + n_2 \lambda_2^2 + \cdots + n_p \lambda_p^2 &=0 \\ \vdots \\ n_1 \lambda_1^p + n_2 \lambda_2^p + \cdots + n_p \lambda_p^p &=0 \end{aligned}$$
Dengan menuliskannya dalam bentuk $Px = b,$ maka diperoleh bahwa $$\begin{pmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 & \cdots & \lambda_p \\ \lambda_1^2 & \lambda_2^2 & \cdots & \lambda_p^2 \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ \lambda_1^p & \lambda_2^p & \cdots & \lambda_p^p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ \vdots \\ n_p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\0\\ \vdots \\0 \end{pmatrix} $$Akan diperiksa bahwa $$\det \begin{pmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 & \cdots & \lambda_p \\ \lambda_1^2 & \lambda_2^2 & \cdots & \lambda_p^2 \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ \lambda_1^p & \lambda_2^p & \cdots & \lambda_p^p \end{pmatrix} \neq 0 $$Maka, dengan sifat hubungan perkalian skalar matriks dan determinan, maka diperoleh bahwa $$\det \begin{pmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 & \cdots & \lambda_p \\ \lambda_1^2 & \lambda_2^2 & \cdots & \lambda_p^2 \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ \lambda_1^p & \lambda_2^p & \cdots & \lambda_p^p \end{pmatrix} = \left(\prod_{i=1}^{r} \lambda_i\right)\det \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \lambda_1 & \lambda_2 & \cdots & \lambda_p \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ \lambda_1^{p-1} & \lambda_2^{p-1} & \cdots & \lambda_p^{p-1} \end{pmatrix}$$
Perhatikan bahwa bagian terakhir tersebut adalah matriks Vendermonde. Sehingga, $$\det \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \lambda_1 & \lambda_2 & \cdots & \lambda_p \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ \lambda_1^{p-1} & \lambda_2^{p-1} & \cdots & \lambda_p^{p-1} \end{pmatrix} = \prod_{1 \leq i<j \leq p} (\lambda_j – \lambda_i) $$Karena $\lambda_1, \lambda_2 , …, \lambda_p$ masing-masing berbeda, maka haruslah $$\det \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \lambda_1 & \lambda_2 & \cdots & \lambda_p \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ \lambda_1^{p-1} & \lambda_2^{p-1} & \cdots & \lambda_p^{p-1} \end{pmatrix} = \prod_{1 \leq i<j \leq p} (\lambda_j – \lambda_i) \neq 0$$
Karena $$\det \begin{pmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 & \cdots & \lambda_p \\ \lambda_1^2 & \lambda_2^2 & \cdots & \lambda_p^2 \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ \lambda_1^p & \lambda_2^p & \cdots & \lambda_p^p \end{pmatrix}=0,$$ maka haruslah diperoleh bahwa $n_1, n_2, … , n_p$ adalah nol yang kontradiksi dengan asumsi bahwa $n_1, n_2, … , n_p$ tidak nol. Sehingga, pengandaian salah dan haruslah $$tr (M^k) = 0$$ untuk setiap $k$ bilangan asli. Ini berakibat bahwa nilai eigen dari $A$ semuanya adalah nol. Oleh karena itu, nilai eigen terbesar dari $A$ adalah $0.$
Baca Juga:
Kumpulan Pembahasan ONMIPA/KNMIPA Tingkat Nasional
Kumpulan Pembahasan ONMIPA/KNMIPA 2020
Kumpulan Pembahasan ONMIPA/KNMPA 2021
Soal Hari Kedua
Misalkan $A$ dan $B$ adalah matriks dalam $\mathbb{R}^{2017 \times 2017}$ yang memenuhi persamaan-persamaan $$A^{-1} = (A+B)^{-1} – B^{-1} $$dan $$ \det (A^{-1}) = 2017.$$ Tentukan $\det (B).$
Jawab: Perhatikan bahwa $$A^{-1} + B^{-1}= (A+B)^{-1} $$Dari sini, $$\begin{aligned} (A+B)(A+B)^{-1} &= (A+B)(A^{-1} + B^{-1}) \\&= A A^{-1} +AB^{-1}+BA^{-1}+BB^{-1} \\ &=I+AB^{-1}+BA^{-1}+I=2I+AB^{-1}+BA^{-1}\end{aligned} $$Karena $$(A+B)(A+B)^{-1} = I, $$maka $$2I + AB^{-1}+BA^{-1} = I$$ yang berakibat bahwa $$I+AB^{-1}+BA^{-1} =0 $$Kemudian, kalikan kedua ruas persamaan terakhir dengan $(AB^{-1} – I)(AB^{-1}).$ Kita perlu mendefinisikan $AB^{-1}$ untuk memudahkan. Untuk itu, misalkan $P=AB^{-1}.$ Dari sini, $BA^{-1} = P^{-1}$ dan $$\begin{aligned} (P-I)\cdot P \cdot (P+P^{-1} + I) &= (P-I)(P^2+P+I) \\ &=P^3-I\end{aligned} $$Karena $$0 = P+P^{-1} + I, $$maka $$0 = (P-I)\cdot P \cdot (P+P^{-1} + I) = P^3-I$$
Kemudian, diperoleh $P^3=I.$ Dari sini, $\det(P^3) = \det (I) = 1$ yang berakibat bahwa $$(\det (P))^3 = 1$$Karena entri-entri dari $P$ bernilai bilangan real, maka haruslah determinannya bernilai real. Selain itu, satu-satunya solusi real dari persamaan $x^3-1=0$ adalah $x=1.$ Oleh karena itu, haruslah $\det(P)=1.$
Selanjutnya, karena $P=AB^{-1},$ maka haruslah $PB = A.$ Berdasarkan sifat determinan, maka $$\det (P) \det (B) = \det (PB) = \det (A) $$Karena $\det(P)=1,$ maka $$\det(B) = \det(A) $$Dengan fakta tersebut, maka $$\begin{aligned}\det(B) &= \det(A)\\ & = \frac{1}{\det(A^{-1})}\\ &=\frac{1}{2017} \end{aligned}$$
Demikian pembahasan kali ini tentang Pembahasan ONMIPA 2017 Aljabar Linear Tingkat Nasional. Jika Anda tertarik dengan pembahasan soal ONMIPA/KNMIPA lainnya, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan pembahasan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
