Pembahasan Lengkap Soal ONMIPA 2026 Matematika Aljabar Linear Tingkat Wilayah

Last Updated on September 20, 2026 by prooffic

Postingan kali ini akan membahas tentang pembahasan lengkap soal ONMIPA 2026 Matematika Aljabar Linear Tingkat Wilayah. Pembahasan berikut memuat materi tentang Matriks dan Transformasi Linear. Pembahasan dibagi menjadi dua bagian, yaitu pembahasan untuk soal isian dan pembahasan untuk soal uraian.

Selamat menikmati

Soal Isian

Soal 1

Misalkan $X = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 2 & 6 \end{matrix} \right)$. Matriks $Y$ berukuran $2 \times 2$ yang memenuhi persamaan $2XY = 21X – 2Y$ adalah …

Jawab. Misalkan matriks $Y$ berbentuk $\left( \begin{matrix} y_1 & y_2 \\ y_3 & y_4 \end{matrix} \right)$. Maka, diperoleh persamaan $$ \begin{aligned} 2 \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 2 & 6 \end{matrix} \right)  \left( \begin{matrix} y_1 & y_2 \\ y_3 & y_4 \end{matrix} \right) & = 21 \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 2 & 6 \end{matrix} \right) – 2 \left( \begin{matrix} y_1 & y_2 \\ y_3 & y_4 \end{matrix} \right) \\ 2 \left( \begin{matrix} 2 y_1 & 2 y_2 \\ 2 y_1 + 6 y_3 & 2 y_2 + 6 y_4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 42 – 2y_2 & -2 y_2 \\ 42 – 2 y_3 & 126 – 2y_4 \end{matrix} \right)\end{aligned}$$

Selanjutnya adalah menyelesaikan persamaan tersebut. Dari baris pertama kolom kedua, diperoleh $4y_2 = -2 y_2$ yang berakibat bahwa $y_2 = 0$.

Kemudian, dari baris pertama kolom pertama, diperoleh $$4 y_1 = 42 – 2 y_2 = 42 – 0 = 42 $$sehingga $y_1 = \frac{21}2$.

Kemudian, pada baris kedua kolom pertama, diperoleh $$ \begin{aligned} 4 y_1 + 12 y_3 \\ = 42 – 2y_3 \\  4 \left( \frac{21}{2} \right) + 12 y_3 & = 42 – 2y_3 \\ 42 + 12 y_3 & = 42 – 2y_3 \\ 14 y_3 & = 0  \end{aligned} $$sehingga $y_3 = 0$.

Terakhir, pada baris kedua kolom kedua, dengan mensubtitusikan $y_2 = 0$ diperoleh $$ \begin{aligned} 4 y_2 + 12 y_4 & = 126 – 2y_4 \\ 12 y_4 & = 126 – 2y_4 \\ 14 y_4 & = 126 \end{aligned} $$yang berakibat $y_4 = 9$.

Jadi, matriks $Y$ yang dimaksud adalah $$ Y = \left( \begin{matrix} y_1 & y_2 \\ y_3 & y_4 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \frac{21}2 & 0 \\ 0 & 9 \end{matrix} \right).$$

Baca Juga:
Pembahasan Soal ONMIPA 2026 Tingkat Wilayah
Pembahasan Soal ONMIPA Aljabar Linear

Soal 2

Misalkan $A = (a_{ij})$ dan $B = (b_{ij})$ adalah matriks berukuran $2026 \times 2026$ dengan $$ a_{ij} = \begin{cases} i + j, & \text{ jika } i \leq j \\ 0, & \text{ jika } i>j  \end{cases} $$dan $$ a_{ij} = \begin{cases} \frac1{i + j}, & \text{ jika } i \geq j \\ 0, & \text{ jika } i<j. \end{cases}$$

Nilai dari $tr(AB)$ adalah …

Jawab. Langkah pertama yang perlu dilakukan adalah menuliskan secara lengkap matriks $A$ dan $B$. Perhatikan bahwa $$A = \left( \begin{matrix} 2 & 3 & 4 & 5 & \cdots & 2027 \\ 0 & 4 & 5 & 6 & \cdots & 2028 \\ 0 & 0 & 6 & 7 & \cdots & 2029  \\  &  &  & \vdots &  &   \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 4052 \end{matrix} \right) $$dan $$B = \left( \begin{matrix} \frac12 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \frac13 & \frac14 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \frac14 & \frac15 & \frac16 & 0 & \cdots & 0  \\ &  &  & \vdots &  &   \\ \frac1{2027} & \frac1{2028} & \frac1{2029} & \frac1{2030} & \cdots & \frac1{4052} \end{matrix} \right).$$

Selanjutnya, $tr(AB)$ adalah jumlahan elemen pada diagonal utama sehingga kita hanya perlu fokus pada diagonal utama dari matriks $AB$. Entri pada baris 1 kolom 1 matriks $AB$ adalah $$1 + 1 + \cdots + 1 $$dimana penjumlahan $1$ tersebut ada sebanyak $2026$ karena terdapat $2026$ kolom. Oleh karena itu, $a_{11} = 2026$.

Selanjutnya, entri pada baris 2 kolom 2 matriks $AB$ adalah $$0 + 1 + \cdots + 1 $$dimana penjumlahan $1$ tersebut ada sebanyak $2026$ karena terdapat $2025$ kolom yang tidak nol. Oleh karena itu, $a_{22} = 2025$ Entri pada baris 3 kolom 3 matriks $AB$ adalah $$0 + 0 + 1 + \cdots + 1 $$dimana penjumlahan $1$ tersebut ada sebanyak $2026$ karena terdapat $2025$ kolom yang tidak nol. Oleh karena itu, $a_{33} = 2024$. Jika dilanjutkan, diperoleh $a_{(2026)(2026)} = 1$.

Berdasarkan entri-entri diagonal utama pada matriks $AB$, diperoleh bahwa $$tr(AB) = 2026 + 2025 + 2024 + \cdots +1 = \frac{2026 \times 2027}{2} = 2053351$$

Soal Uraian

Soal 1

Misalkan $P$ adalah ruang semua polinom atas $\mathbb{R}$. Didefinisikan transformasi linear $T : P \to P$ dengan $$T(f(x)) = xf(x) $$untuk setiap polinom $f(x)$ di $P$.

1. Tunjukkan bahwa $T$ tidak memiliki nilai eigen real.
2. Apakah terdapat suatu transformasi linear $S : P \to P$ sehingga $T \circ S$ merupakan pemetaan identitas? Jelaskan jawaban Anda.

Jawab. Terlebih dahulu ditunjukkan bahwa $T$ tidak memiliki nilai eigen real. Andaikan sebaliknya, yaitu $T$ memiliki nilai eigen real $\lambda$. Maka, terdapat polinom tak nol $f(x)$ sedemikian sehingga $$T(f(x)) = \lambda f(x) $$untuk setiap $x \in \mathbb{R}$.

Berdasarkan asumsi, maka $$x (f(x)) = T(f(x)) = \lambda f(x) $$untuk setiap $x \in \mathbb{R}$. Misalkan $\lambda =0$. Maka, $x (f(x)) = 0 \cdot f(x) = 0$ yang berkibat bahwa $f(x) = 0$. Hal ini bertentangan dengan asumsi bahwa $f(x)$ polinom tak nol.

Selanjutnya asumsikan $\lambda \neq 0$. Karena $\lambda \in \mathbb{R}$ yang tidak nol, maka ruas kanan pada persamaan $x (f(x)) = \lambda f(x)$ merupakan polinom berderajat $n\in \mathbb{N}$. Sementara itu, ruas kiri merupakan polinom berderajat $ n + 1$. Hal tersebut tidak mungkin berlaku karena kedua ruas tersebut adalah polinom yang sama.

Jadi, pengandaian salah. Oleh karena itu, $T$ tidak memiliki nilai eigen real.

Selanjutnya, andaikan bahwa terdapat suatu transformasi linear $S : P \to P$ sehingga $T \circ S$ merupakan pemetaan identitas. Pilih $f(x) = 1$, maka untuk setiap $x \in \mathbb{R}$ berlaku $$ \begin{aligned} (T \circ S) (f(x)) & f(x) \\ T(S(f(x))) & = f(x) \\ x f(x) & = f(x) \\ x \cdot 1 & = 1. \end{aligned}$$

Oleh karena itu, pengandaian salah. Jadi, tidak terdapat suatu transformasi linear $S : P \to P$ sehingga $T \circ S$ merupakan pemetaan identitas.

Soal 2

Misalkan $A$ suatu matriks berbukuran $4 \times 4$ dengan $rank (A) = 2$. Buktikan bahwa tedapat vektor-vektor kolom $u_1$, $u_2$, $w_1$, $w_2$ di $\mathbb{R}^4$ sehingga $u_1^Tu_2 = 0$ dan $A = u_1 w_1^T + u_2 w_2^T$.

Jawab. Karena $rank (A) = 2$, maka dengan proses Gram-Schmidt, terdapat basis ortonormal $\{u_1, u_2\}$ bagi ruang kolom dari $A$. Misalkan $$A = [a_1 \, a_2 \, a_3 \, a_4] $$dengan $a_i$ adalah vektor kolom yang entrinya adalah kolom ke-i dari matriks $A$.

Karena $\{u_1, u_2\}$ adalah basis ortonormal, maka $u_1^T u_2 = 0$. Selanjutnya, untuk setiap $i = 1, 2, 3, 4$, dapat ditulis $$a_i = c_{i1} u_1 + c_{i2} u_2 $$untuk suatu $c_{i1}, c_{i2} \in \mathbb{R}$. Akibatnya, dengan mengganti masing-masing bentuk $a_i$ tersebut pada $A = [a_1 \, a_2 \, a_3 \, a_4] $, maka diperoleh $$ \begin{aligned} A & = \left[(c_{11}u_1+c_{12}u_2)\, (c_{21}u_1+c_{22}u_2)\, (c_{31}u_1+c_{32}u_2)\, (c_{41}u_1+c_{42}u_2)\, \right] \\ & = \left[ c_{11}u_1\, c_{21}u_1\, c_{31}u_1\, c_{41}u_1 \right] + \left[ c_{12}u_2\, c_{22}u_2\, c_{32}u_2\, c_{42}u_2 \right] \\ & = u_1\left(\begin{matrix} c_{11} & c_{21} & c_{31} & c_{41}  \end{matrix}\right) + u_2\left(\begin{matrix} c_{12} & c_{22} & c_{32} & c_{42}  \end{matrix}\right).\end{aligned}$$

Misalkan $w = \left(\begin{matrix} c_{11} \\ c_{21} \\ c_{31} \\ c_{41}  \end{matrix}\right)$. Maka, $A = u_1 w_1^T + u_2 w_2^T$.

Demikian postingan kali ini tentang pembahasan lengkap soal ONMIPA 2026 Matematika Aljabar Linear Tingkat Wilayah. Postingan ini adalah tentang pembhasan soal ONMIPA / KNMIPA. Jika Anda tertarik dengan postingan serupa, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan postingan dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.