Last Updated on September 27, 2026 by prooffic
Artikel kali ini akan berfokus tentang Pembahasan Soal ONMIPA 2015 Aljabar Linear. Materi pada postingan adalah mencakup materi matriks (determinan dan nilai egien), ruang vektor, dan transformasi linear.
Selamat menikmati
Isian Singkat
Soal 1
Misalkan $A$, $B$, dan $C$ berturut-turut adalah matriks berukuran $m \times m,$ $n \times n$, dan $ n \times m$. Jika $det (A) = 2$ dan $det (B) = 3$, maka nilai dari $$det \left[ \begin{matrix} 0 & A \\ B & C \end{matrix} \right] $$adalah …
Jawab. Berdasarkan sifat matriks blok, diperoleh bahwa $$det \left[ \begin{matrix} 0 & A \\ B & C \end{matrix} \right] = 0 – det (A) det (B) = -6.$$
Soal 2
Diketahui bahwa $a\neq 0$. Agar himpunan $\{a + bx, ax + bx^2, ax + bx^2, b + a x^3\}$ bergantung linier di ruang vektor $P_4$, maka $a$ dan $b$ haruslah memenuhi hubungan …
Jawab. Misalkan $\gamma_1, \gamma_2$, dan $\gamma_3$ adalah skalar sehingga $$\gamma_1 (a + bx) + \gamma_2 (ax + bx^2) + \gamma_3 (b + a x^3) = 0.$$
Maka, $$(\gamma_1 a + \gamma_3 b) + (\gamma_1 b + \gamma_2 a)x + \gamma_2 b x^2 + \gamma _3 a x^3 = 0. $$Karena $\{1, x, x^2, x^3\}$ bebas linier di $P_4$, maka haruslah $$\begin{aligned} \gamma_1 a + \gamma_3 b & = 0 \\ \gamma_1 b + \gamma_2 a & = 0 \\ \gamma_2 b & = 0 \\ \gamma_3 a & = 0 \end{aligned}.$$
Kemudian, karena $a \neq 0$, maka haruslah $\gamma_3 = 0$. Dari sini, $$\begin{aligned}\gamma_1 a + \gamma_3 b & = 0\\ \gamma_1 a + 0 \cdot b & = 0 \\ \gamma_1 a & = 0 \\ \gamma_1 & = 0.\end{aligned} $$Selanjutnya, dari $\gamma_1 b + \gamma_2 a =0$ juga diperoleh bahwa $\gamma = 0$. Akibatnya, $\{a + bx, ax + bx^2, ax + bx^2, b + a x^3\}$ senantiasa bebas linear di $P_4$ apabila $a \neq 0$.
Soal 3
Di $\mathbb{R}$, subruang dibangun oleh $$ \left\{ \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right], \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right], \left[ \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right] \right\} $$dan subruang $L$ dibangun oleh $$\left\{ \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{matrix} \right], \left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] \right\}. $$Maka, $K \cap L =$ …
Jawab. Perhatikan bahwa $$\left[ \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] + 2 \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right]. $$Oleh karena itu, $K$ pada dasarnya dibangun oleh $$ \left\{ \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right], \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] \right\}.$$
Misalkan $w \in K \cap L$. Maka, terdapat skalar-skalar $k_1, k_2, l_1, l_2$ sedemikian sehingga $$k_1 \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] + k_2 \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] = l_1 \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{matrix} \right] + l_2 \left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right]. $$Selanjutnya, karena $$ \left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] = (-1) \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] + (-1) \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{matrix} \right], $$maka diperoleh $$ (k_1 + l_2) \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] + (k_2 – l_2) \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] + (- l_1 + l_2) \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{matrix} \right] = 0.$$
Karena himpunan $$\left\{ \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] , \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] , \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{matrix} \right] \right\} $$bebas linear, mak haruslah $$ \begin{aligned} k_1 & = -l_2 \\ k_2 & = l _2 \\ l_1 & = l_2 \end{aligned}. $$Dari sini, diperoleh bahwa $$ \begin{aligned} w & = l_1 \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{matrix} \right] + l_2 \left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] \\ & = l_1 \left( \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{matrix} \right] + l_2 \left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] \right) \\ & = l_1 \left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \end{aligned}. $$Jadi, $K \cap L$ adalah subruang yang dibangun oleh $\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}\right]$.
Soal 4
Misalkan $A = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right].$ Pemetaan linear $T$ memenuhi $T(X) = AX – XA$ untuk setiap $X \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$. Maka dimensi $Inti(T)$ adalah …
Jawab. Misalkna $X \in text{Inti} (X)$ dengan $$X = \left[ \begin{matrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{matrix} \right]. $$Maka, diperoleh $$ \begin{aligned} T(X) & = 0 \\ AX – XA & = 0 \\ AX & = XA \\ \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} x_3 & x_4 \\ x_1 & x_2 \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} x_2 & x_1 \\ x_4 & x_3 \end{matrix} \right] \end{aligned} $$yang berakibat bahw $x_2 = x_3$ dan $x_1 = x_4$. Dari sini, $$ X = \left[ \begin{matrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} x_1 & x_2 \\ x_2 & x_1 \end{matrix} \right]. $$Jadi, dimensia dari $Inti(T)$ adalah $2$.
Soal 5
Diketahui bahwa $u = \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right]$ adalah vektor eigen matriks $\left[ \begin{matrix} a – 1 & a \\ 2 & 1 \end{matrix} \right]$. Maka nilai eigen untuk $u$ adalah …
Jawab. Misalkan $\lambda$ adalah nilai eigen dari $A$ yang bersesuaian dengan vektor $u$. Maka, $$ \begin{aligned} \left[ \begin{matrix} a – 1 & a \\ 2 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right] & = \lambda \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} 2a – 1 \\ 3 \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} \lambda \\ \lambda \end{matrix} \right] \end{aligned}. $$Akibatnya, $\lambda = 3$. Jadi, nilai eigen untuk $u$ adalah $3$.
Soal 6
Banyaknya matriks real diagonal berukuran $n \times n$ yang ortogonal adalah …
Jawab. Syarat agar matriks $A$ yang berukuran $n \times n$ yang ortogonal adalah $A^T = A^{-1}$ sehingga $A$ haruslah non singular. Misalkan $A = diag (a_1, \cdots, a_n)$ dengan $a_1, \cdots, a_n$ merupakan bilangan real tak nol. Karena $A^T = A^{-1}$, maka haruslah $a_i = (a_i)^{-1}$ yang berakibat bahwa $a_i = \pm 1$. Jadi, banyaknya $2^n$.
Soal 7
Dikathui matriks-matiks $A = \left[ \begin{matrix} 1 & a \\ -1 & 1 \\ b & 1 \end{matrix} \right]$ dan $B = \left[ \begin{matrix} c & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right]$. Agar matriks $AB$ dapat didiagonalisasi ortogonal, haruslah $(a,b,c) = $ …
Jawab. Syarat agar $AB$ dapat didiagonalisasi ortogonal adalah $AB = (AB)^T$. Selanjutnya, dapat dihitung bahwa $$ AB = \left[ \begin{matrix} c & a-1 & a \\ -c & 2 & 1 \\ bc & -b + 1 & 1 \end{matrix} \right]. $$Dari syarat $AB = (AB)^T$ diperoleh bahwa $$ \left[ \begin{matrix} c & a-1 & a \\ -c & 2 & 1 \\ bc & -b + 1 & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} c & -c & bc \\ a-1 & 2 & -b+1 \\ a & 1 & 1 \end{matrix} \right] $$yang berakibat bahwa $b = 0$, $a = 0$, dan $c=1$. Jadi, $(a,b,c) = (0, 0, 1)$.
Soal 8
Di ruang vektor $P_2$ didefinisikan hasil kali dalam $$ \langle p, q \rangle = \int_0^1 p(t) q(t) dt $$untuk setiap $p,q \in P_2$. Jika $K$ dibangun oleh $\{1, x\}$, maka $K^{\perp}$ adalah …
Jawab. Misalkan $q \in K^{\perp}$ dengan $q = a_0 + a_1 x + a_2 x^2$. Misalkan $p_1 = 1$, maka $p_1 \in K$ dan $$\begin{aligned} \langle p_1, q \rangle & = 0 \\ \int_0^1 (a_0 + a_1 x + a_2 x^2) dx & = \\ a_1 + \frac{a_1}2 + \frac{a_2}3 & = 0 \end{aligned}. $$Di lain pihak, $p_2 (x) = x$ merupakan anggota dari $K$ sehingga $$\begin{aligned} \langle p_2, q \rangle & = 0 \\ \int_0^1 x(a_0 + a_1 x + a_2 x^2) dx & = \\ \frac{a_1}2 + \frac{a_1}3 + \frac{a_2}4 & = 0 \end{aligned}.$$
Oleh karena itu, diperoleh dua persamaan berikut. $$ \begin{aligned} a_1 + \frac{a_1}2 + \frac{a_2}3 & = 0 \\ \frac{a_1}2 + \frac{a_1}3 + \frac{a_2}4 & = 0 \end{aligned}. $$Dengan menyelesaikan sistem persamaan homogen tersebut, diperoleh bahwa solusinya adalah $\alpha_0 =- \frac16 s$, $\alpha_1 = s$, dan $\alpha_2 = s$ untuk $s,t \in \mathbb{R}.$ Jadi, $$q(x) = \left( -\frac16 + x \right)s + t x^2 $$dengan $s, t \in\mathbb{R}.$ Jadi, $K^\perp$ adalah ruang yang dibangun oleh $\left\{ – \frac16 + x, x^2 \right\}$.
Demikian postingan kali ini tentang Pembahasan Soal ONMIPA 2015 Aljabar Linear. Postingan ini adalah tentang pembhasan soal ONMIPA / KNMIPA. Jika Anda tertarik dengan postingan serupa, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan postingan dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasi
