Last Updated on Februari 17, 2026 by prooffic
Postingan kali ini akan membahas tentang pembahasan soal aljabar linear ONMIPA 2018. Materi pada postingan ini meliputi matriks dan transformasi.
Selamat menikmati
Uraian
Soal 1
Misalkan $T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ adalah transformasi linear pencerminan terhadap garis $y = \left( -\frac13 \sqrt{3} \right) x$. Tentukanlah $T(-5,4)$.
Jawab. Perhatikan bahwa garis $g$ dengan persamaan $y = \left( -\frac13 \sqrt{3} \right) x$ dapat diubah menjadi $\sqrt{3} x + 3y = 0$. Garis yang tegak lurus dengan garis tersebut dan melalui $(-5,4)$ adalah garis $\ell$ dengan persamaan $$ y – 4 = \sqrt{3} (x+5) \Rightarrow y = x \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} + 4$$
Titik potong kedua garis tersebut dapat diperoleh dengan operasi aljabar dasar sehingga diperoleh titik $$A = \left( \sqrt{3} + \frac{15}4, 1 – \frac54\sqrt{3} \right)$$
Selanjutnya misalkan $T(-5,4) = (x_0, y_0)$ yang merupakan titik yang berada di garis sehingga $$ y_0= x_0 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} + 4 $$dan $$T(-5,4) = (x_0, y_0)=(x_0, x_0 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} + 4) $$Jarak $(-5,4)$ dan garis $g$ haruslah sama dengan jarak titik $A$ ke garis $g$.
- Jarak $(-5,4)$ dan garis $g$ adalah $$ \left| \frac{\sqrt{3} \cdot (-5) + 3 \cdot 4}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2}} \right| = \frac{12- 5 \sqrt{3}}{\sqrt{12}}$$
- Jarak antara $A$ dan $g$ adalah $$ \left| \frac{\sqrt{3} \cdot x_0 + 3 \cdot y_0}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2}} \right| = \frac{|x_0 \sqrt{3} + 3y_0|}{\sqrt{12}} = \frac{|x_0 \sqrt{3} + 3y_0|}{\sqrt{12}}$$
Oleh karena itu, $$\begin{aligned} 12- 5 \sqrt{3} & = |x_0 \sqrt{3} + 3y_0| \\ & = |x_0 \sqrt{3} + 3x_0 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 12| \\& = |(4\sqrt{3})x_0 + 15 \sqrt{3} + 12| \end{aligned}$$
Solusi dari persamaan tersebut adalah $x_0 = -5$ atau $x_0 = -2\sqrt{3} – \frac52$. Pilih $x_0 = -2\sqrt{3} – \frac52$ sehingga $y_0 = 2 + \frac{5}2 \sqrt{3}.$ Jadi, $$ T(-5,4) = \left( 2\sqrt{3} – \frac52, 2 + \frac{5}2 \sqrt{3}\right)$$
Soal 2
Misalkan $A, B, C \in \mathbb{R}^{n \times n}$. Buktikan bahwa $$\text{rank}\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix} \ge \text{rank}(A) + \text{rank}(B).$$
Jawab. Misalkan $M = \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix}$. Misalkan pula basis ruang baris untuk $A$ adalah $\{u_1, \dots, u_k\}$ di mana $k = \text{rank}(A)$, dan basis ruang baris untuk $B$ adalah $\{v_1, \dots, v_m\}$ di mana $m = \text{rank}(B)$.
Perhatikan baris-baris yang bersesuaian pada matriks $M$. Baris yang berasal dari $A$ dapat diperluas menjadi $\tilde{u}_i = (u_i, c_i) \in \mathbb{R}^{2n}$, dan baris yang berasal dari $B$ menjadi $\tilde{v}_j = (0, v_j) \in \mathbb{R}^{2n}$.
Tinjau kombinasi linear dari gabungan vektor-vektor tersebut: $$\begin{aligned} &\sum_{i=1}^k \alpha_i \tilde{u}_i + \sum_{j=1}^m \beta_j \tilde{v}_j = \mathbb{0} \\& \sum_{i=1}^k \alpha_i (u_i, c_i) + \sum_{j=1}^m \beta_j (0, v_j) = (0, 0) \end{aligned}$$
Dengan melihat komponen pertama (blok kiri), diperoleh
$$\sum_{i=1}^k \alpha_i u_i = 0$$
Karena $\{u_i\}$ bebas linear, maka $\alpha_i = 0$ untuk semua $i$.
Substitusi ke persamaan awal sehingga tersisa blok kanan:
$$ \sum_{j=1}^m \beta_j v_j = 0 $$
Karena $\{v_j\}$ bebas linear, maka $\beta_j = 0$ untuk semua $j$. Karena himpunan $\{\tilde{u}_1, \dots, \tilde{u}_k, \tilde{v}_1, \dots, \tilde{v}_m\}$ bebas linear, maka $\text{rank}(M)$ minimal $k+m$. Jadi, $$\text{rank}\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix} \ge \text{rank}(A) + \text{rank}(B).$$
Soal 3
Misalkan $x \in \mathbb{C}^n$ dengan $\|x\|_2 = 1$. Tentukan semua nilai eigen matriks $A = \begin{bmatrix} 0 & x^* \\ x & 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{C}^{(n+1)\times(n+1)}$ serta vektor-vektor eigennya.
Jawab. Misalkan $v = \begin{pmatrix} \alpha \\ y \end{pmatrix}$ adalah vektor eigen dengan nilai eigen $\lambda$. Maka,
$$\begin{bmatrix} 0 & x^* \\ x & 0 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ y \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} \alpha \\ y \end{pmatrix} \implies \begin{cases} x^* y = \lambda \alpha \\ \alpha x = \lambda y \end{cases}$$
Dibagi beberapa kasus sebagai berikut:
- $\lambda = 0$: Maka $\alpha x = 0 \implies \alpha = 0$ (karena $x \neq 0$). Syarat menjadi $x^* y = 0$. Artinya, untuk nilai $\lambda = 0$, vektor eigennya adalah vektor $v$ yang berbentuk $\begin{pmatrix} 0 \\ u \end{pmatrix}$ dengan $u \in \mathbb{C}^n$ yang memenuhi $u \perp x$. Perhatikan juga bahwa ruang yang orthogonal terhadap satu vektor tak nol memiliki dimensi $n-1$ sehingga multiplisitas dari nilai eigen $\lambda = 0$ adalah $n-1$.
- $\lambda \neq 0$: Jika $\alpha = 0$, maka berdasarkan persamaan tersebut haruslah $y=\mathbb{0}$ yang pada dasarnya sudah tercover pada kasus sebelumnya. Oleh karena itu, diasumsikan bahwa $\alpha \neq 0.$
Karena $x*x = 1$ maka dengan substitusi $y = \frac{\alpha}{\lambda} x$ ke persamaan pertama sehingga diperoleh
$$ x^* (\frac{\alpha}{\lambda} x) = \lambda \alpha \implies \frac{\alpha}{\lambda} (x^* x) = \lambda \alpha \implies \lambda^2 = 1 $$ Oleh karena itu, $\lambda = 1$ atau $\lambda = -1$.
- $\lambda = 1$, vektor eigen $v_1 = \begin{pmatrix} \alpha \\ x \end{pmatrix}$.
- $\lambda = -1$, vektor eigen $v_{-1} = \begin{pmatrix} \alpha \\ -x \end{pmatrix}$.
Demikian postingan kali ini tentang pembahasan soal aljabar linear ONMIPA 2018. Jika Anda tertarik dengan pembahasan soal ONMIPA/KNMIPA lainnya, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan materi lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
