Last Updated on September 9, 2026 by prooffic
Kita akan membahas soal dan jawaban ONMIPA 2026 Matematika Analisis Kompleks. Postingan ini memuat materi tentang modulus bilangan kompleks serta fungsi kompleks terutama turunan bilangan kompleks.
Isian Singkat
Soal 1
Apabila diketahui semua akar persamaan $$ \left( \frac{ 1 + iz }{ 1 – iz } \right)^{2026} = \frac12 + ik $$merupakan bilangan real, maka nilai $k \in \mathbb{R}$ terbesar yang memenuhi adalah …
Jawab. Karena solusinya adalah bilangan real, maka dapat ditulis $$ \left( \frac{ 1 + ix }{ 1 – ix } \right)^{2026} $$dengan $x \in \mathbb{R}$ adalah solusinya. Maka, dengan mengambil modulus pada kedua diperoleh $$ \begin{aligned} \left| \frac{ 1 + ix }{ 1 + ix } \right|^{2026} & = \left| \frac12 + ik \right| \\ \left( \frac{|1 + ix|}{|1 – ix|} \right)^{2026} & = \sqrt{ \frac14 + k^2}. \end{aligned}$$
Karena $|1+ix| = |1 – ix|$, maka $$ \begin{aligned} \left( \frac{|1 + ix|}{|1 – ix|} \right)^{2026} & = \sqrt{ \frac14 + k^2} \\ 1 & = \sqrt{ \frac14 + k^2} \\ k^2 & = \frac32 \end{aligned} $$yang berakibat bahwa $k= \frac12 \sqrt{3}$ atau $k= – \frac12 \sqrt{3}$. Karena $k$ terbesar, maka $k= \frac12 \sqrt{3}$.
Soal 2
Untuk $|z-2i| < 2$, didefinisikan $$f(z) = \sum_{n = 1}^\infty \frac{\left( \frac{z-2i}{2i} \right)^n}{n}. $$NIlai dari $|f'(1+i)|^2$ adalah …
Lihat Juga:
Pembahasan soal ONMIPA 2026
Pembahasan soal ONMIPA Analisis Kompleks
Jawab. Misalkan $$a_n := \frac{(-1)^{n-1}}{n} \frac{1}{(2i)^n}. $$Maka, $f(z) = \sum_{n=1} a_n (x-2i)^n$ ketika $|z-2i|<2$. Kemudian, $$f'(z) = \sum_{n=1}^\infty na_n (z-z_0)^{n-1} $$ketika $|z-z_0|<2$ dengan $z_0 = 2i$.
Perhatikan bahwa untuk $z = 1 + i$, diperoleh $$| z – 2i| = |1 + i-2i| = |1 – i| = \sqrt{2} < 2 $$sehingga $$\begin{aligned} f'(1+i) & = \sum_{n=1}^\infty na_n (1-i)^{n-1} \\ & = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac1{(2i)^n} (1-i)^{n-1} \\ & = – \frac1{1-i} \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \left( \frac{1-i}{2i} \right)^n \\ & = – \frac1{1-i} \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1+i}{2} \right)^n \\ & = – \frac1{1-i} \left( \frac{\frac{1+i}{2}}{1 – \frac{1+i}{2}} – 1 \right) \\ & = – \frac1{1-i} \frac{2i}{1-i} \end{aligned}.$$
Dari sini, $$ |f'(1+i)| = \left| – \frac1{1-i} \frac{2i}{1-i} \right| = \frac{2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = 1.$$
Demikian pembahasan kali ini tentang soal dan jawaban ONMIPA 2026 Matematika Analisis Kompleks. Postingan ini adalah tentang pembahasan jawaban soal ONMIPA/KNMIPA. Jika Anda tertarik dengan postingan serupa, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan postingan lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
