Soal dan Pembahasan ONMIPA 2026 Matematika Struktur Aljabar

Last Updated on September 9, 2026 by prooffic

Postingan kali ini akan membahas tentang Soal dan Pembahasan ONMIPA 2026 Matematika Struktur Aljabar. Materi mencakup teori grup.

**Selamat menikmati**

Soal dan Pembahasan ONMIPA 2026 Matematika Struktur Aljabar

Soal 4 Uraian

Soal

Misalkan $G$ adalah himpunan tak kosong dengan operasi biner asosiatif, ditulis sebagai perkalian. Misalkan untuk setiap $x, y, z \in G$ berlaku $$ x y = z x y z.$$

Buktikan bahwa

1. Operasi pada $G$ adalah komutatif.
2. Jika $H = \{ xy : x, y \in G \}$, maka $H$ adalah grup terhadap operasi yang sama.

Jawab. 

1. Akan ditunjukkan bahwa $G$ adalah komutatif, yaitu $xy = yx$ untuk setap $x, y \in G$. Pada persamaan $x y = z x y z$, pilih $z = x^{-1}$, maka diperoleh $$\begin{aligned} xy & = z x y z \\ xy & = x^{-1} x y x^{-1} \\ xy & = y x^{-1} \end{aligned}$$Selanjutnya, pilih $z = y^{-1}$ pada persamaan tersebut maka diperoleh $$\begin{aligned} xy & = z x y z \\ xy & = y^{-1} x y y^{-1} \\ xy & = y^{-1} x\end{aligned}. $$Oleh karena itu, diperoleh dua persamaan, yaitu $xy = x^{-1}y$ dan $xy=xy^{-1}$.Dari sini, $x^{-1}y = xy^{-1}$. Dengan mengalikan $x$ kedua ruas pada persamaan tersebut diperoleh $$\begin{aligned} x x^{-1} y & = x x y^{-1} \\ y & = x^2 y^{-1}. \end{aligned}$$Selanjutnya, kalikan dengan $y$ untuk memperoleh $$\begin{aligned} y y & = x^2 y^{-1} y \\ y^2 & = x^2.\end{aligned}$$Akibatnya, $x^2 = y^2$ untuk setiap $x$ dan $y$ anggota $G$. Pilih kembali $y = e$ yang merupakan unsur identitas dari $G$ sehingga didapatkan $x^2 = e^2 = e.$Pada persamaan terakhir diperoleh $z^2 = e$ untuk setiap $z$. Maka, $z^{-1} = z$.

   Diberikan sebarang $x,y\in G$. Tuliskan $z$ sebagai $xy$. Maka, $$\begin{aligned} (xy)^{-1} & = xy \\ y^{-1} x^{-1} & = x y \\ y x & = xy.\end{aligned}$$

   Oleh karena itu, $xy = yx$ untuk setiap $x$ dan $y$ anggota dari $G$. Jadi, $G$ adalah komutatif.

2. Diberikan $H = \{ xy : x, y \in G \}$. Akan dibuktikan bahwa $G$ adalah grup terhadap operasi perkalian yang sama dengan $G$, yaitu dengan menunjukkan bahwa $H$ tidak kosong, operasi perkalian membentuk operasi biner pada $H$, $H$ asosiatif, $H$ memiliki unsur identitas, dan $H$ memiliki invers sebagai berikut.
   1. $H$ tidak kosong karena $e = e e \in H$.
   2. Misalkan $z_1$ dan $z_2$ ada di $H$. Maka, dapat ditulis $z_1 = x_1y_1$ dan $z_2 = x_2 y_2$ untuk suatu $x_1, y_1, x_2, y_2$ di $G$. Karena $G$ grup, maka $x_1y_1 \in G$ dan $x_2y_2\in G$ dan $z_1 z_2 = (x_1 y_1) (x_2y_2) \in G$.
   3. Misalkan $z_1, z_2, z_3$ anggota $H$, yaitu $z_1 = x_1y_1$, $z_2 = x_2y_2$, dan $z_1 = x_3y_3$. Karena $G$ asosiatif, maka, $$\begin{aligned} z_1 (z_2 z_3) & = (x_1y_1) ((x_2y_2)(x_3y_3)) \\ & = ((x_1y_1)(x_2y_2)(x_3y_3)) \\ & = z_1(z_2z_3) \end{aligned} $$sehingga $H$ adalah asosiasitf.
   4. Unsur identitas dari $H$ adalah $e$ karena $e = e e$ dan $e\in G$, serta $$ \begin{aligned} z e & = (xy) e \\ ze & = xy \\ ze & = e xy \\ ze & = ez \end{aligned} $$untuk setiap $z = xy \in G$.
   5. Misalkan $z\in G$ dengan $z=xy$ untuk suatu $x,y\in G$. Maka, $z^{-1} = (xy)^{-1} = y^{-1} x^{-1}$ dan $$zz^{-1} = (xy)(xy)^{-1} = e $$dan $$z^{-1} z = (xy)^{-1} (xy) = e $$sehingga setiap unsur di $H$ memiliki inversi di $H$.

   Demikian postingan kali ini tentang Soal dan Pembahasan ONMIPA 2026 Matematika Struktur Aljabar. Postingan kali ini adalah tentang pembahasan soal ONMIPA/KNMIPA. Jika Anda tertarik dengan postingan serupa, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan postingan lainnya, silahkan ke sini. Semoga bermanfaat. Sekian dan terima kasih.