Last Updated on Februari 21, 2026 by prooffic
Postingan kali ini akan membahas tentang pembahasan soal aljabar linear ONMIPA 2025. Pembahasan terdiri dari dua bagian, yaitu isian singkat dan uraian. Materi yang termuat dalam postingan ini adalah sistem persamaan, matriks, ruang vektor, dan transformasi linear pada ruang vektor.
**Selamat menikmati**
Pembahasan soal aljabar linear ONMIPA 2025: Isian Singkat
Soal 1
Misalkan $J$ adalah matriks berukuran $10 \times 10$ dengan semua entrinya adalah satu. Lebih lanjut, juga diberikan matriks identitas $I$ berukuran $10 \times 10$. Invers dari matriks $I + 2025 J$ berbentuk $aI – bJ$ dengan $a,b$ adalah suatu bilangan real. Nilai dari $ab$ adalah …
Jawab. Ide: mencari masing-masing nilai dari $a$ dan $b$ kemudian menghitung $ab$ secara langsung.
Perhatikan bahwa $$J^2 = \left( \begin{matrix} 10 & 10 & \cdots & 10 \\ 10 & 10 & \cdots & 10 \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \\ 10 & 10 & \vdots & 10 \end{matrix} \right) = 10 J $$
Selanjutnya, karena invers dari matriks $I + 2025 J$ berbentuk $aI – bJ$, maka diperoleh $$\begin{aligned} I & = (I + 2025 J)\, (aI – bJ) \\ I & = aI – bJ + 2025aJ – 2025 b J^2 \\ I & = aI + (-b + 20205 a – 20250 b)\, J \end{aligned}. $$Dari sini, $a = 1$ dan haruslah $0 = -b + 2025 a – 20250 b$.
Oleh karena itu, $a = 1$ dan $b = \frac{2025}{20251}$. Jadi, $ab = \frac{2025}{20251}$.
Soal 2
Diberikan ruang vektor $P_1 (\mathbb{R}) = \{ ax + b : a, b \in \mathbb{R} \}$ dengan hasil kali dalam $$\langle f, g \rangle = \int_{-1}^1 f(x) g(x) dx. $$Unsur di $P_1 (\mathbb{R})$ dengan panjang/norm $2\sqrt{2}$ dan tegak lurus dengan $1 – x$ adalah … dan ….
Jawab. Ide: Memisalkan unsur yang dimaksud dengan $f(x) = ax + b$. Kemudian, mencari $a$ dan $b$ berdasarkan hal-hal yang diketahui, yaitu
- $f$ tegak lurus dengan $1 – x$.
- panjang/norm $f$ adalah $2\sqrt{2}$
Misalkan $f(x) = ax + b$. Karena $f$ tegak lurus dengan $1-x$, maka diperoleh $$\begin{aligned} \int_{-1}^1 (ax+b) (-x+1) dx & = 0 \\ \int_{-1}^1 (-ax^2 + (a-b) x + b) dx & = 0 \\ -\frac{2}{3} a + 2b & = 0. \end{aligned} $$sehingga $a=3b$ dan $f(x) = 3b\, x + b = b (3x +1) $.
Karena panjang/norm dari $f$ adalah $2\sqrt{2}$, maka $$\begin{aligned} \langle f,f \rangle^{1/2} & = 2 \sqrt{2} \\ \langle f, f \rangle & = 8 \\ \int_{-1}^1 f(x)^2 dx & = 8 \\ \int_{-1}^1 b^2 (3x+1)^2 dx & =8 \\ \frac{b^2}9 (4^3 – (-2)^3) & = 8 \\ b^2 & = 1 \end{aligned} $$dan $b = \pm 1$. Jadi, $f(x) = (x+1)$ dan $f(x) = – (x+1)$.
Pembahasan soal aljabar linear ONMIPA 2025: Uraian
Soal 1
Diberikan ruang vektor $V$ atas lapangan real dengan basis $\{u, v\}$.
- Tentukan semua bilangan real $p$ sehingga subruang $$W_p = \{ k_1 u + k_2 v + k_3 (pu+p^2v) : k_1, k_2, k_3 \in \mathbb{R} \text{ dan } k_1 + 2k_2 + 3k_3 = 0\} $$tidak sama dengan $V$.
- Untuk setiap nilai $p$ yang diperoleh pada bagian 1, tentukan basis dari ruang vektor $W_p$.
Jawab. Ide: Subtitusi $k_3 = -\frac13 (k_1 + 2k_2)$ ke $W_p$.
Terlebih dahulu akan dijawab bagian 1, yaitu menentukan nilai $p$ yang memenuhi.
Perhatikan bahwa $$ \begin{aligned} W_p & = \left\{ k_1 u + k_2 v + k_3 (pu+p^2v) : k_1, k_2, k_3 \in \mathbb{R} \text{ dan } k_1 + 2k_2 + 3k_3 = 0 \right\} \\ & = \left\{ k_1 u + k_2 v \left(-\frac13\right) (k_1 + 2k_2) (pu + p^2 v) : k_1, k_2 \in \mathbb{R} \right\} \\ & = \left\{\left( \frac{3k_1 – p (k_1 + 2k_2)}{3} \right) u + \left( \frac{3k_2 – p^2 (k_1 + 2k_2)}{3} \right) v \, : \, k_1, k_2 \in \mathbb{R} \right\} \\ & = \left\{ ((3-p) k_1 + (-2pk_2)) u +( (-p^2k_1 + (3-2p^2)k_2) v\, : \, k_1, k_2 \in \mathbb{R} \right\} \end{aligned} $$
Karena $W \subseteq V$, maka agar $W \neq V$, haruslah ada $\alpha, \beta \in \mathb{R}$ sedemikian sehingga persamaan $$\alpha u + \beta v = ((3-p) k_1 + (-2pk_2)) u +( (-p^2k_1 + (3-2p^2)k_2) v $$tidak memiliki solusi atas $k_1$ dan $k_2$. Persamaan tersebut dapat diubah menjadi matriks $$ A \left( \begin{matrix} k_1 \\ k_2 \end{matrix} \right) := \left( \begin{matrix} 3 – p & – 2p \\ -p^2 & 3 – 2p^2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} k_1 \\ k_2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \alpha \\ \beta \end{matrix} \right)$$
Dari sini, haruslah $det A = 0$ sehingga $$(3-p)(3-2p^2) – (-2p)(-p^2) = 0. $$Jadi, nilai $p$ adalah $p=1$ dan $p=-\frac32.$
Selanjutnya akan dijawab bagian 2.
- $p=1$. Maka, $$\begin{aligned} W_p & = \left\{ ((3-p) k_1 + (-2pk_2)) u +( (-p^2k_1 + (3-2p^2)k_2) v\, : \, k_1, k_2 \in \mathbb{R} \right\} \\ & = \left\{ (2k_1 – 2k_2) u + (-k_1 + k_2) v; k_1, k_2 \in \mathbb{R} \right\} \\ & = \left\{ (k_1 – k_2) (2u-v)\, ;\, k_1, k_2\in \mathbb{R} \right\} \\ & = \left\{ k (2u-v)\, ;\, k \in \mathbb{R} \right\} \end{aligned}. $$Jadi, basisnya adalah $\{2u – v\}$.
- $p=-\frac32$. Maka, $$\begin{aligned} W_p & = \left\{ ((3-p) k_1 + (-2pk_2)) u +( (-p^2k_1 + (3-2p^2)k_2) v\, : \, k_1, k_2 \in \mathbb{R} \right\} \\ & = \left\{ \left(\frac92 k_1 + 3 k_2 \right) u + \left(- \frac94k_1 – \frac32 k_2 \right) v; k_1, k_2 \in \mathbb{R} \right\} \\ & = \left\{ \left( \frac92 k_1 +3 k_2\right) \left(u-\frac12v\right)\, ;\, k_1, k_2\in \mathbb{R} \right\} \\ & = \left\{ k \left(u-\frac12v\right)\, ;\, k \in \mathbb{R} \right\} \end{aligned}. $$Jadi, basisnya adalah $\{u-\frac12v\}$.
Soal 2
Misalkan $T: \mathbb{R}^7 \to \mathbb{R}^7$ suatu operator linear yang memenuhi $T^5 = T^2$. Buktikan bahwa $$ \text{Im} (T^5) \oplus \text{Ker} (T^2) = \mathbb{R}^7.$$
Jawab. Ide: Gunakan teorema bahwa jika $T: \mathbb{R}^7 \to \mathbb{R}^7$ suatu operator linear, maka $$ \text{Im} (T) \oplus \text{Ker} (T) = \mathbb{R}^7. $$
Perhatikan bahwa jika $T: \mathbb{R}^7 \to \mathbb{R}^7$ suatu operator linear, maka $T^n: \mathbb{R}^7 \to \mathbb{R}^7$ juga merupakan operator linear untuk setiap $n \in \mathbb{N}$. Dari sini, dengan asumsi bahwa $T^5 = T^2$ diperoleh $$\mathbb{R}^7 = \text{Im} (T^2) \oplus \text{Ker} (T^2) = \text{Im} (T^5) \oplus \text{Ker} (T^2)$$
Demikian postingan kali ini tentang pembahasan soal aljabar linear ONMIPA 2025. Jika Anda tertarik dengan postingan lain terkait dengan ONMIPA/KNMIPA, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan teirma kasih.
