Last Updated on Agustus 20, 2023 by prooffic
Postingan kali ini akan membahas tentang soal dan pembahasan ONMIPA 2007 Analisis Kompleks Tingkat Wilayah. Materi yang termuat pada postingan ini secara umumnya adalah fungsi kompleks, terutama terkait dengan Teorema Liouville dan Lema Schwartz
**Selamat Membaca**
Bagian II
Soal 1
Diketahui $f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$ entire (analitik pada seluruh bidang kompleks). Jika $u$ terbatas dan $v$ satu-satu, maka tunjukkan bahwa untuk setiap $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ yang berbeda, berlaku $f(z_1) – f(z_2) \notin \mathbb{R}.$
Baca Juga:
Kumpulan Pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA 2006-2022
Pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA Analisis Kompleks
Jawab. Melalui bukti ini, kita akan membuktikan hal sebaliknya, yaitu bahwa untuk setiap $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ yang berbeda, berlaku $f(z_1) – f(z_2) =0.$
Nantinya, kita hanya akan menggunakan asumsi bahwa $f$ entire dan $u=\Re (z)$ terbatas, dengan $$|u(x,y)| \leq M, \quad (x,y) \in \mathbb{C}.$$ Tinjau fungsi $z \mapsto g(z)$ dengan $$g(z) = e^{f(z)}. $$
Perhatikan bahwa untuk setiap $z=(x,y)$ berlaku bahwa $$|g(z)| = |e^{f(z)}| = |e^{u(x,y) + i v(x,y)}| = |e^{u(x,y)}| \cdot |e^{i v(x,y)}| \leq e^M. $$Perhatikan bahwa karena $f$ entire, maka haruslah $g$ juga entire. Selain itu, $g$ juga terbatas. Berdasarkan teorema Liouville, maka haruslah konstan, yaitu $$e^{f(z)} = g(z) = C, \quad z \in \mathbb{C}. $$
Dari sini, haruslah $f$ konstan. Misalkan $f(z) = D.$ Maka, $$f(z_1) – f(z_2) = D – D = 0 $$untuk setiap $z_1$ dan $z_2$♦
Soal 2
Misalkan $f$ adalah fungsi entire dan $$|f'(z)| \leq |z| $$untuk semua $z.$ Perlihatkan bahwa $$f(z) = a+bz^2 $$dengan $|b|\leq 1.$
Jawab. Karena $f$ entire, maka $f’$ kontinu. Dari asumsi bahwa $|f'(z)| \leq |z|$ untuk semua $z$ diperoleh $f'(0)=0.$
Tinjau fungsi $g(z) = \frac{f'(z)}{z}$ untuk setiap $z.$ Perhatikan bahwa $g$ entire dengan $$|g(z)| = \frac{|f'(z)|}{|z|} \leq 1, \quad z \in \mathbb{C}.$$
Oleh karena itu, berdasarkan teorema Liouville, $g$ konstan, yaitu $$\frac{f'(z)}{z} = g(z) = C $$yang berakibat bahwa $$f'(z) = Cz, \quad z \in \mathbb{C}. $$
Dari sini, $$|C| = \frac{|f'(z)|}{|z|} \leq 1 $$dan $f(z) = a + \frac{C}{2}z^2$ untuk setiap $z.$ Tulis $b = \frac{C}{2}.$
Maka, $|b|<1.$ Jadi, $f(z) = a + bz^2$ dengan $|b|<1.$
Soal 3
DIketahui fungsi $f$ analitik pada cakram satuan $D$ dan $|f(z)|<1$ pada $D$. Jika $a$ dan $b$ adalah titik tetap (berbeda) di $D$, yaitu $f(a)=a$ dan $g(b) = b,$ gunakan lema Schwartz untuk membuktikan bahwa $f(z) = z.$
Lema Schwartz
Misalkan $D$ adalah cakram buka satuan dan $f:D \to D$ analitik dengan $f(0) = 0$. Maka, $|f(z)| \leq |z|$ untuk setiap $z \in D.$ Lebih lanjut, jika ada $z_0 \neq 0$ sedemikian sehingga $|f(z_0)| = |z_0|,$ maka ada $\alpha \in \mathbb{C}$ dengan $|\alpha| = 1$ dan $$f(z) = \alpha z, z \in D.$$
Jawab. Karena $|f(z)|<1$ pada $D$, maka $f$ adalah fungsi analitik pada $D$ ke $D.$ Tinjau fungsi automorfima $g$ pada $D$ dengan $$g(z) = \frac{a-z}{1-\bar{a} z}. $$
Dapat ditunjukkan bahwa $g^{-1} = g$ dan $h(0)=0$ Kemudian, didefinisikan fungsi $h$ pada $D$dengan $$h = g \circ f \circ g.$$
Karena $g$ automorfisma, maka ada $w \in D$ sedemikian sehingga $g(w) = b.$ Lebih lanjut, karena $g^{-1} = g$, maka $g(b)=w.$
Dari sini, $$\begin{aligned} h(w) & = (g\circ f\circ g)(w) \\ & = (g \circ f) (g(w)) \\ & = (g \circ f) (b) \\ & = g (f(b)) \\ & = g (b) \\ & = w. \end{aligned} $$Kemudian, perhatikan bahwa $g(0) =a$ dan $g(w) = b$. Karena $g$ automorfisma dan $a \neq b,$ maka haruslah $w \neq 0.$
Oleh karena itu, $w \neq 0$ dengan $|h(w)| = |w|$. Berdasarkan Lema Schwartz, ada $\alpha \in \mathbb{C}$ dengan $|\alpha| = 1$ dengan $$h(z) = \alpha z, \quad z \in D.$$
Kemudian, karena $h(w) = w$ dan dari $h(z) = \alpha z$ berlaku $h(w) = \alpha w$, maka haruslah $\alpha = 1.$ Oleh karena itu, $h(z) = z$ untuk setiap $z \in D. $
Selanjutnya, karena $h = g \circ f \circ g$ dan $g^{-1} = g,$ maka $(g \circ g^{-1})(z) = (g\circ g^{-1})(z) = z $ dan $$\begin{aligned} f (z) & = (g^{-1} \circ h \circ g^{-1} )(z)\\ & = (g \circ h \circ g) (z) \\ & =(g\circ h) (g(z)) \\ & = g (h (g(z))) \\ & = g (g(z)) \\ & = z \end{aligned}$$
Demikian postingan kali ini tentang soal dan pembahasan soal ONMIPA 2007 Analisis Kompleks Tingkat Wilayah. Jika Anda tertarik dengan soal dan pembahasan ONMIPA/KNMIPA lainnya, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan materi/topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
