Last Updated on April 1, 2023 by prooffic
Postingan kali akan membahas tentang Pembahasan Soal Persiapan ONMIPA 2023, yaitu Pembahasan Soal KNMIPA 2021 Bidang Matematika terutama Analisis Real Tingkat Nasional. Materi berikut mencakup materi tentang kekontinuan fungsi. Berikut ini adalah Pembahasan Soal Persiapan ONMIPA 2023.
**Selamat Menikmati**
Soal Hari Pertama
Diberikan barisan fungsi kontinu $(f_n)$ dengan $f_n : [0,1] \to [0,\infty)$ untuk tiap $n\in \mathbb{N}.$ Jika dipenuhi kondisi berikut:
- $f_1 (x) \geq f_2 (x) \geq f_3 (x) \geq \cdots, x \in [0,1]$;
- $f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n (x) $dan $M = \sup_{x \in [0,1]} f(x),$
maka
- buktikan terdapat $t \in [0,1]$ sedemikian sehingga $M = f(t).$
- berikan contoh bahwa 1. belum tentu berlaku apabila kondisi pertama diganti menjadi, untuk setiap $x \in [0,1]$ terdapat $N_x \in \mathbb{N}$ sehingga untuk $n \geq N_x$, $f_n(x) \geq f_{n+1} (x).$ Jelaskan!
Jawab. Kita akan melihat bahwa asumsi pada soal pada dasarnya tidak cukup. Untuk itu, tinjau barisan fungsi $(f_n)$ dengan $$f_n (x) = 1 – x \sum_{k=0}^n \frac{1}{(1+x^2)^k} $$untuk tiap bilangan asli $n$ dan $x \in [0,1].$ Dapat dilihat bahwa $(f_n)$ memenuhi sifat bahwa $f_1 (x) \geq f_2 (x) \geq f_3 (x) \geq \cdots, x \in [0,1]$.
Lebih lanjut, $$\begin{aligned} f(x) & = \lim f_n(x) \\ & = \lim \left( 1 – x \sum_{k=0}^n \frac{1}{(1+x^2)^k}\right) \\ & = \begin{dcases} 1, & x = 0 \\ 1 + \frac1x, & x \in (0,1] \end{dcases} \end{aligned}$$
Dari sini, $M = \sup_{x \in [0,1]} f(x) = \infty$ dan tidak ada $t \in [0 , \infty]$ sedemikian sehingga $f(t) = M$. Contoh tersebut merupakan counter example untuk bagian 1 yang menyebabkan bahwa perlu adanya asumsi tambahan pada soal. Lebih lanjut, contoh tersebut juga membuktikan bagian 2.
Baca Juga:
Pembahasan Soal ONMIPA 2022
Pembahasan Soal ONMIPA Analisis Real
Soal Hari Kedua
Diberikan himpunan terbatas $A \subset \mathbb{R}.$ Jika fungsi $f : A \to \mathbb{R}$ kontinu seragam,
- Selidiki apakah terdapat fungsi kontinu $g : \overline{A} \to \mathbb{R},$ dengan $g(x) = f(x)$, untuk setiap $x \in A.$
- Buktikan bahwa $f$ terbatas.
Jawab. Terlebih dahulu asumsikan bahwa $A$ adalah himpunan terbatas dan $f : A \to \mathbb{R}$ kontinu seragam.
- Akan ditunjukkan bahwa terdapat fungsi kontinu $g : \overline{A} \to \mathbb{R},$ dengan $g(x) = f(x)$, untuk setiap $x \in A.$ Hal tersebut dilakukan dengan memperluas fungsi $f$ yang awalnya didefinisikan pada $A$ menjadi fungsi $g$ yang didefinisikan pada $\overline{A}.$Terlebih dahulu misalka $b(A)$ adalah himpunan semua titik batas dari $A.$ Diberikan $c \in \overline{A}.$ Maka, terdapat dua kemungkinan, yaitu $c \in A$ atau $c \in b(A).$Jika $c\in A,$ maka dipilih $g(c) = f(c).$ Di lain pihak, asumsikan bahwa $c \in b(A).$ Perhatikan bahwa terdapat barisan $(c_n)$ di $A$ sedemikian sehingga $c_n \to c.$ Lebih lanjut, $(c_n)$ merupakan barisan Cauchy.Karena $f$ kontinu seragam dan $(c_n)$ Cauchy, maka haruslah $(f(c_n))$ juga merupakan barisan Cauchy. Dari sini, $(f(c_n))$ merupakan barisan yang konvergen. Oleh karena itu, $\lim f(c_n)$ ada dan dituliskan $$g (c) = \lim f(c_n).$$ Perhatikan bahwa berdasarkan sifat ketunggalan limit, nilai $\lim f(c_n)$ adalah tunggal.
Agar menjadi fungsi, perlu ditunjukkan bahwa nilai $g (c) = \lim f(c_n)$ pada dasarnya tidak bergantung pada pemilihan barisan $(c_n).$ Untuk itu, misalkan $(a_n)$ dan $(c_n)$ adalah dua barisan di $A$ yang konvergen ke $c.$
Karena $a_n \to c$ dan $c_n \to c$, maka haruslah $a_n – c_n \to c.$ Karena $f$ merupakan fungsi kontinu seragam, maka haruslah $f(a_n)-f(c_n) \to 0.$ Dari sini, $\lim g(a_n) = \lim g(c_n)$ yang membuktikan bahwa $g(c)$ tidak bergantung pada pemilihan barisan $(c_n).$
Oleh karena itu, $g$ adalah fungsi $\overline{A}$ dengan $$ g(c) = \begin{dcases} f(c), & c \in A \\ \lim f(c_n), & (cn) : c_n \in A, c_n \to c \end{dcases}. $$
Perhatikan bahwa jika $c \in A$, maka dapat didefinisikan barisan $(c_n)$ di $A$ dengan $c_n = c$ untuk tiap $n \in \mathbb{N}.$ Jelas bahwa $c_n \to c.$
Berdasarkan kontruksi sebelumnya, fungsi $g$ pada $\overline{A}$ dapat dituliskan dengan $$g(c) = \lim f(c_n) $$dengan $c_n \in A,$ $c_n \to c.$ Jelas bahwa $g(c) = f(c)$ untuk setiap $c \in A.$
Akan ditunjukkan $g$ kontinu pada $\overline{A}.$ Diberikan sebarang $\varepsilon >0.$ Maka, terdapat $\delta>0$ sedemikian sehingga untuk $y, u \in A$ dengan $|y-u|<\delta$ berlaku $$|f(y) – f(u)| < \frac{\varepsilon}{3}.$$
Misalkan $c \in \overline{A}.$ Diberikan $x \in \overline{A}$ dengan $|x-c|<\frac{\delta}{3}.$ Berdasarkan kontruksi, terdapat barisan $(x_n)$ di $A$ dengan $x_n \to x$ dan $f(x_n) \to g(x).$ Oleh karena itu, terdapat $N_1 \in \mathbb{N}$ sehingga untuk $n \geq N_1$ berlaku $$|x_n – x|<\frac{\delta}{3} $$dan $$|f(x_n) – g(x)| \frac{\varepsilon}{3}. $$
Lebih lanjut, terdapat barisan $(c_n)$ di $A$ dengan $c_n \to y$ dan $f(c_n) \to g(c).$ Sama seperti sebelumnya, terdapat $N_2 \in \mathbb{N}$ sehingga untuk $n \geq N_2$ berlaku $$|c_n – c|<\frac{\delta}{3} $$dan $$|f(c_n) – g(c)| \frac{\varepsilon}{3}. $$
Pilih $N = \max \{N_1, N_2\}$. Maka, untuk $n \geq N$ berlaku $$|x_N – x|<\frac{\delta}{3} $$dan $$|f(x_N) – g(x)| \frac{\varepsilon}{3} $$serta $$|c_N – c|<\frac{\delta}{3} $$dan $$|f(c_N) – g(c)| \frac{\varepsilon}{3}. $$
Perhatikan bahwa $$|x_N – c_N| \leq |x_N – x| + |x-c| + |c – c_N| < \frac{\delta}{3}+\frac{\delta}{3}+\frac{\delta}{3} $$yang berakibat bahwa $$|f(x_N) – f(c_N)| < \frac{\varepsilon}{3}. $$Oleh karena itu, $$\begin{aligned} |g(x) – g(c)| & \leq |g(x) – g(x_N)| + |g(x_N) – g(c_N)| +|g(c_N) – g(c)| \\ & < \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} \\ & = \varepsilon \end{aligned}$$
Secara keseluruhan, untuk $x \in \overline{A}$ dengan $|x-c|<\frac{\delta}{3}$, berlaku $$|g(x) – g(c) | < \varepsilon $$yang membuktikan bahwa $g$ kontinu pada $\overline{A}.$ Jadi, $g$ adalah fungsi kontinu pada $\overline{A}$ dengan $g(x) = f(x)$ pada $A.$
- Karena $f$ kontinu pada $\overline{A}$ dan $\overline{A}$ adalah himpunan tutup dan terbatas, maka haruslah $f$ terbatas pada $\overline{A}.$ Kemudian, karena $A \subseteq \overline{A},$ maka haruslah $f$ terbatas pada $A.$
Demikian postingan kali ini tentang Pembahasan Soal Persiapan ONMIPA 2023 berupa pembahasan soal ONMIPA 2021 Analisis Real Tingkat Nasional. Jika Anda tertarik dengan postingan lainnya tentang Pembahasan ONMIPA/KNMIPA, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
