Last Updated on November 12, 2024 by prooffic
Postingan kali ini adalah mengenai Pembahasan Soal ONMIPA 2012 Analisis Kompleks Tingkat Nasional. Soal berikut terdiri dari 2, yaitu soal untuk hari pertama dan soal untuk hari kedua. Pembahasannya mencakup materi tentang integral kompleks atas contour dan sifat fungsi entire.
**Selamat menikmati**
Soal Hari pertama
Soal
Misalkan $f$ adalah fungsi holomorfik kecuali berhingga titik sebelah dalam suatu lengkungan tertutup (sederhana) berorientasi positif $C.$
(a) Buktikan $$\oint_{C} f(z) d(z) = 2 \pi i Res_{z = 0} \frac{f \left(\frac{1}{z} \right)}{z^2} dz$$
(b) Gunakan hasil pada (a) untuk menghitung $$\oint_{|z| = 2} \frac{z^5}{1 – z^3} dz$$ pada $|z| = 2$
Jawab
Misalkan $f$ adalah fungsi holomorfik kecuali berhingga titik sebelah dalam suatu lengkungan tertutup (sederhana) berorientasi positif $C.$ Misalkan juga bahwa titik-titik tersebut adalah $z_1, z_2, …, z_n.$ Kita akan menjawab bagian (a) dan (b) sebagai berikut.
(a) Misal $R>0$ dan $C_R$ adalah lingkaran berpusat di $0$ dan berjari-jari $R$ dengan orientasi positif. Pilih $R>0$ sedemikian sehingga $C_R$ memuat semua pole $z_1, z_2, … , z_n.$ Maka, dengan sifat homotopi, diperoleh bahwa $$\oint_C f(z) dz = \oint_{C_R} f(z) dz $$Selanjutnya, kita hanya perlu meninjau pengintegralan pada $C_R$ yang tentu saja akan lebih memudahkan bagi kita.
Perhatikan bahwa dengan subtitusi peubah $w = 1/z,$ maka diperoleh bahwa $$dw = – \frac{1}{z_2} dz$$ dan akibatnya $$dz = – \frac{1}{w^2} dw $$Kemudian, karena $$C_{R} = \{z=R e^{i \theta } : 0 \leq \theta \leq 2 \pi \}, $$maka untuk $z \in C_R$ dengan $z = R e^{i \theta}$ berlaku $$w = \frac{1}{z} = \frac{1}{R e^{i \theta} = \frac{1}{R} e^{- i \theta}}.$$ Dari sini, dengan transformasi $w = 1/z,$ kita mengubah $C_R$ menjadi $$C^{-}_{(1/R)} = \left\{ z = \frac{1}{R} e^{- i \theta} : 0 \leq \theta \leq 2 \pi \right\} $$Perhatikan bahwa $C^{-}_{(1/R)}$ berorientasi negatif.
Dari sini, dengan sifat integral (pertukaran orientasi sebuah lengkungan tutup sederhana), maka kita akan punya $$\begin{aligned} \oint_{C_R} f(z) dz &= – \oint_{C^{-}_{1/R}} \frac{f \left(\frac{1}{w}\right)}{w^2} dw \\&= \oint_{C_{(1/R)}} \frac{f \left(\frac{1}{w}\right)}{w^2} dw \end{aligned}$$
Kemudian, dengan aplikasi teori residu pada integral, maka diperoleh $$\begin{aligned} \oint_{C_R} f(z) dz &= \oint_{C_{(1/R)}} \frac{f \left(\frac{1}{w}\right)}{w^2} dw \\ &= \oint_{C_{(1/R)}} \frac{f \left(\frac{1}{z}\right)}{z^2} dz \\&= 2 \pi i Res_{z = 0} \frac{f \left(\frac{1}{z}\right)}{z^2} dz\end{aligned} $$Jadi, $$\oint_{C} f(z) d(z) = 2 \pi i Res_{z = 0} \frac{f \left(\frac{1}{z} \right)}{z^2} dz$$
(b) Misalkan bahwa $$f(z) = \frac{z^5}{1-z^3} $$Sehingga, $f$ holomorfik kecuali di titik $z$ yang memenuhi $z^3-1=0.$ Perhatikan bahwa modulus dari titik tersebut adalah $1$ yang berakibat bahwa titik-titik tersebut akan terletak di dalam $C_2.$ Selain itu, $$\begin{aligned} \frac{f(1/z)}{z^2} &=\frac{1}{z^2} \cdot \frac{(1/z)^5}{1 – (1/z)^3)} \\&=\frac{1}{z^2} \cdot \frac{1}{z^5 – z^2} \\&= \frac{1}{z^4(z^3-1)}\end{aligned}$$
Sehingga, dengan bagian (a), kita peroleh bahwa $$\begin{aligned}\oint_{|z| = 2} \frac{z^5}{1 – z^3} dz &= 2 \pi i Res_{z = 0} \frac{f \left(\frac{1}{z} \right)}{z^2} dz \\&= 2 \pi i Res_{z = 0} \frac{1}{z^4 (z^3 – 1)} dz\end{aligned} $$Selanjutnya kita akan menentukan nilai residu $\frac{1}{z^4 (z^3 – 1)}$ di $0.$ Karena $$\frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^{\infty} z^n, $$maka $$\begin{aligned}\frac{1}{z^3-1} &= -\frac{1}{1-z^3} \\&= – \sum_{n=0}^{\infty} z^{3n} \\&= -(1 + z^3 + z^6 + z^9+ \cdots) \end{aligned}$$yang berakibat bahwa $$\begin{aligned} \frac{1}{z^4 (z^3 – 1)} &= \frac{1}{z^4} \cdot \frac{1}{z^3 – 1} \\&=-\frac{1}{z^4} \cdot (1 + z^3 + z^6 + z^9+ \cdots) \\&= -\frac{1}{z^4} – \frac{1}{z} – z^2 – z^5 – \cdots \end{aligned} $$Oleh karena itu, residu dari $$\frac{1}{z^4 (z^3 – 1)}$$ di $0$ adalah $-1.$ Akibatnya, $$\begin{aligned}\oint_{|z| = 2} \frac{z^5}{1 – z^3} dz &= 2 \pi i Res_{z = 0} \frac{f \left(\frac{1}{z} \right)}{z^2} dz \\&= 2 \pi i Res_{z = 0} \frac{1}{z^4 (z^3 – 1)} dz \\&= 2 \pi i (-1) \\&= -2 \pi i\end{aligned} $$Jadi, $$\oint_{|z| = 2} \frac{z^5}{1 – z^3} dz = -2 \pi i$$
Baca Juga:
Kumpulan Pembahasan ONMIPA/KNMIPA Tingkat Nasional
Kumpulan Pembahasan KNMIPA 2021
Kumpulan Pembahasan ONMIPA/KNMIPA Analisis Kompleks
Soal Hari Kedua
Soal
Misalkan $f$ merupakan fungsi entire dengan $$\Re (f(z)) \leq \frac{2}{|z|}$$ untuk semua $|z| \geq 1.$ Tentukan semua $f$ yang mungkin.
Jawab
Terlebih dahulu kita akan tunjukkan bahwa pemetaan $$z \mapsto \Re (f(z))$$ terbatas pada $\matbhh{C}.$ Karena $f$ entire dan berlaku bahwa $$\Re (f(z)) \leq \frac{2}{|z|}$$ untuk semua $|z| \geq 1,$ maka dengan mengambil $|z| \to \infty,$ kita akan peroleh bahwa $\Re (f(z)) \to 0.$ Akibatnya, terdapat $R>1$ sedemikian sehingga $$|\Re (f(z))| \leq 1 $$untuk setiap $z$ dengan $|z| > R.$
Di lain pihak, karena $f$ entire, maka $f$ holomorfik pada lingkaran $\{z : |z| \leq R\}.$ Oleh karena itu, $f$ terbatas pada lingkaran tersebut. Akibatnya, terdapat $M > 0$ sedemikian sehingga $|f(z)| \leq M$ untuk setiap $z$ dengan $|z| \leq R.$ Dari sini, $$|\Re (f(z))| \leq |f(z)| \leq M $$untuk setiap $z$ dengan $|z| \leq R.$
Selanjutnya, pilih $K = \max \{M, 1\}.$ Maka, untuk $z \in \mathbb{C}, $ berlaku bahwa $$|\Re (f(z))| \leq K$$ Dengan kata lain, diperoleh bahwa $$z \mapsto \Re (f(z))$$ terbatas pada $\mathbb{C}.$
Kemudian, tinjau fungsi $g$ pada $\mathbb{C}$ dengan $$g(z) = e^{f(z)} $$untuk setiap $z.$ Perhatikan bahwa $g$ merupakan fungsi entire karena fungsi $z \mapsto e^z$ dan $f(z)$ adalah fungsi entire. Selain itu, $$\begin{aligned}|g(z)| &= |e^{f(z)}| \\ &=e^{\Re (f(z))} \end{aligned} $$untuk setiap $z.$ Karena pemetaan $$z \mapsto \Re (f(z))$$ terbatas pada $\mathbb{C},$ maka $|g(z)|$ juga terbatas pada $\mathbb{C}.$
Oleh karena itu, fungsi $g$ merupakan fungsi entire dan terbatas pada $\mathbb{C}.$ Sehingga, dengan teorema Liouville, $g$ merupakan fungsi konstan pada $\mathbb{C}.$ Misalkan $g(z) = C$ untuk setiap $z.$ Sehingga $$C = g(z) = e^{f(z)} $$untuk setiap $z.$ Dengan melakukan diferensiasi pada kedua ruas, diperoleh $$0 = e^{f(z)} \cdot f'(z) $$Karena $e^{f(z)}$ tidak pernah nol, maka haruslah $f'(z) = 0.$ Oleh kaerna itu, $f$ haruslah fungsi konstan pada $\mathbb{C}.$
Jadi, semua nilai $f$ yang mungkin adalah $f =C$ pada $\mathbb{C}$ dengan $C$ adalah konstanta bernilai kompleks.
Demikian postingan kali ini tentang Pembahasan Soal ONMIPA 2012 Analisis Kompleks Tingkat Nasional. Jika Anda tertarik dengan pembahasan soal ONMIPA / KNMIPA lainnya, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
