Last Updated on Desember 27, 2022 by prooffic
Postingan kali ini akan membahas tentang Pembahasan Soal ONMIPA 2007 Analisis Real Tingkat Wilayah. Soal yang termuat pada postingan sebagian besar adalah terkait dengan materi fungsi yang terdiri dari limit, turunan, dan integral.
Baca Juga:
Kumpulan Pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA
Pembahasan Soal ONMIPA 2022 Analisis Real Tingkat Wilayah
**Selamat Membaca**
Uraian
Soal 1
Misal $f,g : [ a,b ] \to \mathbb{R}^n$ kontinu dengan $$\inf \{ f(x) : x\in [a,b]\} = \inf \{ g(x) : x\in [a,b]\}. $$
Buktikan bahwa terdapat $c \in [a,b]$ sedemikian sehingga $f(c) = g(c).$
Jawab. Andaikan bahwa $f(c) \neq g(c)$ untuk setiap $c \in [a,b].$ Maka, untuk tiap $c \in [a,b],$ ada dua kemungkinan, yaitu $f(c)<g(c)$ atau $f(c) > g(c).$ Tanpa mengurangi keumuman, dapat diasumsikan bahwa $f(a)<g(a).$
Tujuannya adalah untuk menunjukkan bahwa $f(c) < g(c)$ untuk setiap $c.$ Andaikan bahwa terdapat $d$ sehingga $f(d)>g(d).$
Dari sini, $f(a)<g(a)$ dan $f(d)>g(d).$ Maka, dengan teorema letak akar atas fungsi $f-g$, terdapat $y \in (a,d) $sedemikian sehingga $f(d)-g(d) = 0$ atau $f(d) = g(d)$ yang kontradiksi dengan sebelumnya.
Oleh karena itu, pengandaian bahwa terdapat $d$ sehingga $f(d)>g(d).$ Akibatnya, haruslah $f(c) < g(c)$ untuk setiap $c.$
Selanjutnya adalah menunjukkanbahwa terdapat $\varepsilon > 0$ sedemikian sehingga untuk setiap $c \in [a,b]$ berlaku $$g(c) – f(c) \geq \varpesilon$$ Untuk itu, andaikan bahwa untuk setiap $\varepsilon > 0$ terdapat $c_\varepsilon \in [a,b]$ yang memenuhi $$0 < g(c) – f(c) < \varepsilon$$
Dari sini, untuk setiap bilangan asli $n$, terdapat $c_n \in [a,b]$ yang memenuhi $$0 < g(c_n) – f(c_n) < \frac1n $$Akibatnya, terdapat barisan $(c_n)$ di $[a,b]$ yang memenuhi $$0 < g(c_n) – f(c_n) < \frac1n$$
Berdasarkan teorema Bolzano-Weierstrass, terdapat subbarisan $(c_{n_k})$ dari $(c_n)$ yang konvergen. Misalkan $c_{n_k} \to c$ dengan $c \in [a,b].$
Karena $f$ dan $g$ kontinu, maka haruslah $g(c_{n_k}) – f(c_{n_k})\to g(c) – f(c)$. Berdasarkan hubungan $$0 < g(c_{n_k}) – f(c_{n_k}) < \frac1n, \quad n \in \mathbb{N}, $$maka dengan dengan teorema apit diperoleh bahwa $$0 \leq \lim (g(c_{n_k}) – f(c_{n_k})) \leq \lim \frac1n $$dan haruslah $$g(c) – f(c) = lim (g(c_{n_k}) – f(c_{n_k})) = 0 $$yang berakibat bahwa $f(c) = g(c).$
Hal tersebut bertentangan dengan fakta sebelumnya. Oleh karena itu, pengandaian salah dan haruslah terdapat $\varepsilon > 0$ sedemikian sehingga untuk setiap $c \in [a,b]$ berlaku $$g(c) – f(c) \geq \varepsilon$$
Perhatikan bahwa $$\varepsilon + f(c) \leq g(c), \quad c \in [a,b] $$atau $$\varepsilon + f(x) \leq g(x), \quad x \in [a,b] $$Maka, dengan sifat infimum, diperoleh bahwa $$ \inf_{x \in [a,b]} (\varepsilon + f(x)) \leq \inf_{x\in [a,b]} g(x) $$dan $$\inf_{x \in [a,b]} g(x) \geq \inf_{x\in [a,b]} f(x) + \varepsilon > \inf_{x \in [a,b]} f(x) $$yang kontradiksi dengan asumsi bahwa $$\inf \{ f(x) : x\in [a,b]\} = \inf \{ g(x) : x\in [a,b]\}.$$
Oleh karena itu, pengandaian salah dan haruslah terdapat $c \in [a,b]$ sedemikian sehingga $f(c) = g(c).$
Soal 2
Misalkan $f$ terbatas untuk $a \leq x \leq b$. Untuk setiap pasangan bilangan $x_1, x_2$ dengan $a \leq x_1 \leq x_2 \leq b$ berlaku $$f \left( \frac12 (x_1 + x_2) \right) \leq \frac12 \left( f(x_1) + f(x_2)\right).$$
Buktikan bahwa $f$ kontinu untuk $a<x<b.$
Jawab. Andaikan bahwa $f$ tidak kontinu untuk $a<x<b.$ Dengan sifat translasi pada fungsi, dapat diasumsikan bahwa $f(0) = 0$ dan $a < 0 < b$ serta $f$ tidak kontinu di $x=0.$ Kemudian, perhatikan bahwa untuk $f(x)<0$, karena $$f(x)+f(-x) \leq 2 f \left(\frac12 (x+(-x))\right) = 2 f(0) = 0 $$yang berakibat bahwa haruslah $f(-x)>0.$
Karena $f$ tidak kontinu di $0,$ maka terdapat $\varepsilon>0$ sedemikian sehingga untuk setiap $\delta>0$, terdapat $x\in (a,b)\cap (-\delta, \delta)$ yang memenuhi bahwa $$ |f(x)|=|f(x)-f(0)| \geq \varepsilon.$$
Selanjutnya, ambil sebarang $m\in \mathbb{N}.$ Perhatikan bahwa dapat dipilih suatu $\delta$ yang cukup kecil sedemikian sehingga ada $x_\delta$ yang memenuhi bahwa $ \pm 2^m x_\delta \in [a,b] \cap (-\delta, \delta)$. Dari sini, $x \in [a,b] \cap (-\delta, \delta) $dan $$|f(x_\delta)| \geq \varepsilon.$$
Jika $f(x_\delta) > 0,$ maka dengan induksi dan asumsi bahwa $f$ midpoin convex, diperoleh $$f(2^mx_\delta) \geq 2^m f(x_\delta) \geq 2^m \varepsilon.$$ Jika $f(x_\delta) <0,$ maka $f(-x_\delta) < 0$ dan $$f(2^m(-x_\delta)) \geq 2^m f(-x_\delta) \geq 2^m \varepsilon.$$
Dari kedua kasus tersebut, dapat diasumsikan bahwa $f(x_\delta) > 0.$ Secara keseluruhan, untuk setiap bilangan asli $m,$ terdapat $x_\delta$ yang memenuhi bahwa $$ 2^m x_\delta \in [a,b] \cap (-\delta, \delta)$$ dan $$f(2^m x_\delta) > 2^m \varepsilon$$
Hal tersebut bertentangan dengan asumsi bahwa $f$ terbatas. Oleh karena itu, haruslah $f$ kontinu untuk $a<x< b.$
Soal 3
Diketahui $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ dan terdiferensialkan secara kontinu dan $$m = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}. $$Tunjukkan bahwa $$\int_a^b \left[f'(x)\right]^2 dx \geq m^2 (b-a) $$dan kesamaan berlaku jika dan hanya jika $f(x) = f(a) + m(x-a).$
Jawab. Terlebih dahulu perhatikan ketaksamaan Cauchy-Schwarz, yaitu untuk fungsi $f,g : [a,b] \to \mathbb{R}$ yang terintegralkan berlaku $$\left(\int_a^b f(x)g(x) dx\right)^2 \leq \left(\int_a^b f(x)^2 dx \right) \left(\int_a^b g(x)^2 dx\right) $$. Kesamaan berlaku jika dan hanya jika $f=g.$
Karena $f$ terdiferensialkan secara kontinu, maka $f’$ dan $f$ terintegralkan. Kemudian, dengan ketaksamaan Cauchy-Schwarz diperoleh $$\begin{aligned} (f(b) – f(a))^2 & = \left(\int_a^b f'(x) dx \right)^2 \\ & \leq \left(\int_a^b [f'(x)]^2 dx \right) \left(\int_a^b 1 \text{ }dx\right) \\ & = \left(\int_a^b [f'(x)]^2 dx \right) (b-a) \end{aligned} $$yang berakibat bahwa $$\int_a^b [f'(x)]^2 dx \geq \frac{(f(b)-f(a))^2}{b-a} = \frac{(f(b)-f(a))^2}{(b-a)^2} (b-a) = m^2 (b-a) $$
Selain itu, ketaksamaan berlaku jika dan hanya jika $f'(x) = 1, x\in [a,b].$ Dari sini, $f(x) = Cx + D$.
Kemudian, karena $f(a) = Ca + D$ dan $f(b) = Cb + D,$ maka $$C = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=m$$. Selain itu, \quad $$D = f(a) – ma.$$ Ini berakibat bahwa $$f(x) = f(a) + m (x – a). $$
Jadi, $$\int_a^b \left[f'(x)\right]^2 dx \geq m^2 (b-a) $$dan kesamaan berlaku jika dan hanya jika $f(x) = f(a) + m(x-a).$
Demikian postingan kali ini tentang Pembahasan Soal ONMIPA 2007 Analisis Real Tingkat Wilayah. Jika Anda tertarik dengan Pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA lainnya, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan materi/topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
