Postingan kali ini akan membahas tentang Pembahasan Soal Analisis Real Bartle 2.5 Interval. Soal-soal berikut merupakan soal-soal latihan pada buku Introduction to Real Analysis oleh Robert G. Brtle dan Donald R. Sherbert pada bagian 2.5. Interval. Untuk memudahkan materi tersebut, alangkah baiknya jika Anda membaca materi di bagian tersebut. Jikapun tidak, Anda sebaiknya memiliki pemahaman tentang konsep supremum dan infimum suatu himpunan.
**Selamat Membaca**
Berikut adalah Pembahasan Soal Analisis Real Bartle 2.5 Interval.
Soal 1
Jika $I = [a,b]$ dan $I’ = [a’, b’]$ adalah interval-interval tutup di $\mathbb{R}^n,$ tunjukkan bahwa $I \subseteq I’$ jika dan hanya jika $a’ \leq a$ dan $b \leq b’.$
Jawab. Terlebih dahulu asumsikan bahwa $I \subseteq I’$. Akan ditunjukkan bahwa $a’ \leq a$ dan $b \leq b’$. Perhatikan bahwa $a, b \in I.$ Maka, $a, b \in I’$ yang berakibat bahwa $$a’ \leq a \leq b’ $$dan $$a’ \leq b \leq b’. $$Dari sini, $a’ \leq a$ dan $b \leq b’.$
Sebaliknya, asumsikan bahwa $a’ \leq a$ dan $b \leq b’.$ Misalkan $x\in I.$ Maka, $a \leq x \leq b.$ Berdasarkan asumsi diperoleh bahwa $$a’ \leq a \leq x \leq b \leq b’ $$yang berakibat $a’ \leq x \leq b’$ dan $x \in I’ = [a’, b’].$ Karena $x\in I$ sebarang dan berlaku bahwa $x \in I’,$ maka dapat disimpulkan bahwa $i \subseteq I’$. Jadi, $I \subseteq I’$ jika dan hanya jika $a’ \leq a$ dan $b \leq b’.$
Soal 2
Jika $S \subseteq \mathbb{R},$ tunjukkan bahwa $S$ terbatas jika dan hanya jika ada sebuah interval tutup terbatas $I$ sedemikian sehingga $S \subseteq I.$
Jawab. Terlebih dahulu asumsikan bahwa $S$ terbatas. Maka, $\sup S$ dan $\inf S$ ada. Didefinisikan $I = [\inf S, \sup S].$ Maka, $I$ adalah interval tutup terbatas. Misalkan $x \in S$. Maka, $\inf S \leq x \sup S$ yang berakibat bahwa $x \in I.$ Oleh karena itu, $S \subseteq I.$
Sebaliknya asumsikan bahwa terdapat interval tutup terbatas $I = [a,b]$ sedemikian sehingga $S \subseteq I.$ Misalkan $x \in S.$ Maka, $x \in I$ yang berakibat bahwa $a \leq x \leq b.$ Dari sini, karena $x$ sebarang anggota dari $S$ yang memenuhi bahwa $a \leq x \leq b,$ maka $$a \leq x \leq b, \quad x \in S $$yang berakibat bahwa $S$ terbatas.
Jadi, $S$ terbatas jika dan hanya jika ada sebuah interval tutup terbatas $I$ sedemikian sehingga $S \subseteq I.$
Baca Juga: Pembahasan Soal Analisis Real Bartle tentang Fungsi Kontinu (Bagian 5.1)
Soal 3
Jika $S \subseteq \mathbb{R}$ adalah himpunan terbatas tak kosong dan $I_S := [\inf S, \sup S],$ tunjukkan bahwa $S \subseteq I_S.$ Lebih lanjut, jika $J$ adalah sebarang interval tutup terbatas yang memuat $S$, tunjukkan bahwa $I_S \subseteq J.$
Jawab. Asumsikan bahwa $S$ adalah subset himpunan bilangan real yang terbatas dan tidak kosong. Misalkan $I_S = [\inf S, \sup S]$. Akan ditunjukkan bahwa $S \subseteq I_S.$ Untuk itu, misalkan $x \in S.$ Maka, $\inf S \leq x \leq \sup S$ yang berakibat bahwa $x \in [\inf S, \sup S] = I_S.$ Dari sini, $S \subseteq I_S.$
Selanjutnya, misalkan $J$ adalah sebarang interval tutup terbatas yang memuat $S.$ Akan ditunjukkan bahwa $I_S \subseteq J.$
Untuk itu, andaikan bahwa $I_S$ bukan subset dari $J = [a,b].$ Maka, $\inf S < a$ atau $\sup S > b.$
Jika $\inf S < a$, maka ada $s \in S$ sedemikian sehingga $s<a$. Akan tetapi, karena $J$ memuat $S$, maka haruslah $a \leq s$. Hal tersebut tidak mungkin berlaku secara bersamaan.
Jika $\sup S > b,$ maka ada $s \in S$ sedemikian sehingga $s>b.$ Akan tetapi, karena $J$ memuat $S$, maka haruslah $b \geq s$. Hal tersebut tidak mungkin berlaku secara bersamaan.
Oleh karena itu, kedua kasus tersebut tidak mungkin berlaku yang berakibat bahwa pengandaian salah. Dari sini, haruslah $I_S \subseteq J.$
Jadi, $S \subseteq I_S$ dan jika $J$ adalah sebarang interval tutup terbatas yang memuat $S$, maka $I_S \subseteq J.$
Soal 4
Dalam bukti Teorema 2.5.1 kasus (ii), jelaskan kenapa $x$ dan $y$ ada di $S.$
Jawab. Berdasarkan bukti Teorema 2.5.1 kasus (ii), $b = \sup S$. Jika $z < b,$ maka berdasarkan definisi supremum sebagai batas atas terkecil, ada $y \in S$ sedemikian sehingga $z \leq y.$
Kemudian, karena $S$ tidak terbatas di bawah, maka untuk $z<b$ ada $x \in S$ sedemikian sehingga $x < z$. Dari sini, $x, y \in S$ sedemikian sehingga $x < z < y$ yang berakibat bahwa $z \in [x, y].$
Soal 5
Tuliskan detail dari bukti untuk kasus (iv) pada Teorema 2.5.1.
Jawab. Untuk kasus (iv), diasumsikan bahwa $S$ tidak terbatas di bawah dan juga tidak terbatas di bawah. AKan ditunjukkan bahwa $S = (-\infty, \infty).$
Terlebih dahulu jelas bahwa $S \subseteq (-\infty,\infty)$ sehingga cukup ditunjukkan bahwa $(-\infty, \infty) \subseteq S.$ Untuk itu, misalkan $z \in (-\infty, \infty)$. Karena $S$ tidak terbatas di bawah, maka terdapat $x \in S$ sedemikian sehingga $x<z$.
Di lain pihak, karena $S$ tidak terbatas di atas, maka terdapat $y \in S$ sedemikian sehingga $z < y.$ Secara keseluruhan, $x < z < y$ untuk suatu $x, y \in S.$ Karena $x, y \in S,$ maka berdasarkan asumsi, $[x, y] \subseteq S$. Kemudian, karena $z \in [x,y]$, maka $z \in S.$
Dari sini, karena $z \in (-\infty, \infty)$ sebarang dan berlaku $z \in S,$ maka dapat disimpulkan bahwa $(-\infty, \infty) \subseteq S.$ Oleh karena itu, $(-\infty, \infty) = S.$ Ini membuktikan Teorema 2.5.1 untuk kasus (iv).
Soal 6
Jika $I_1 \superset I_2 \superset \cdots \superset I_n \superset \cdots$ adalah barisan bersarang dari interval dan $I_n = [a_n, b_n]$, tunjukkan bahwa $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n \leq \cdots$ dan $b_1 \geq b_2 \geq \cdots\geq b_n \geq \cdots$.
Jawab. Asumsikan bahwa $I_1 \superset I_2 \superset \cdots \superset I_n \superset \cdots$ dengan $I_n = [a_n, b_n]$ untuk setiap $n\in \mathbb{N}.$ Cukup ditunjukkan bahwa $a_n \leq a_{n+1} \leq b_{n+1} \leq b_n.$
Untuk itu, misalkan $n \in \mathbb{N}.$ Perhatikan bahwa $a_{n+1} \in I_{n+1} \subseteq I_n$ yang berakibat bahwa $a_n \leq a_{n+1} \leq b_n$. Selain itu, perhatikan juga bahwa $b_{n+1} \in I_{n+1} \subseteq I_n$ yang berakibat bahwa $a_n \leq b_{n+1} \leq b_n.$
Oleh karena itu, $a_n \leq a_{n+1}$ dan $b_n \leq b_{n+1}$ untuk setiap bilangan asli $n$. Jadi, $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n \leq \cdots$ dan $b_1 \geq b_2 \geq \cdots\geq b_n \geq \cdots$.
Soal 7
Misalkan $I_n = [0, 1/n]$ untuk $n\in\mathbb{N}.$ Buktikan bahwa $\cap_{n=1}^\infty I_n = \{0\}.$
Jawab. Misalkan $I_n = [a_n, b_n]$ dengan $a_n = 0$ dan $b_n = 1/n$ untuk setiap bilangan asli $n.$ Maka, diperoleh bahwa $$\inf \{b_n – a_n : n\in\mathbb{N}\} = \inf \{1/n : n \in \mathbb{N}\} = 0.$$
Dengan Teorema 2.5.3, diperoleh bahwa $\cap_{n=1}^\infty I_n$ adalah tunggal. Perhatikan bahwa $ 0 \in \cap_{n=1}^\infty I_n$ karena $0 \in I_n$ untuk setiap bilangan asli $n.$
Dari sini, $\cap_{n=1}^\infty I_n = \{0\}.$
Soal 8
Misalkan $J_n = (0, 1/n)$ untuk $n \in \mathbb{N}.$ Buktikan bahwa $\cap_{n=1}^\infty J_n = \emptyset.$
Jawab. Andaikan bahwa $\cap_{n=1}^\infty J_n$ bukan himpunan kosong. Maka, terdapat paling sedikit satu elemen dari $\cap_{n=1}^\infty J_n$, misalkan elemen tersebut adalah $z$. Dari sini, $$z \in J_n, \quad n \in \mathbb{N}.$$
Di lain pihak, berdasarkan Teorema 2.4.6, karena $z < 1,$ maka terdapat bilangan asli $m \geq 2$ sedemikian sehingga $$\frac{1}{m} \leq z \leq \frac{1}{m-1}. $$Akibatnya, $z notin J_m$ untuk suatu $m \in \mathbb{N}$ yang bertentangan dengan $z \in J_n, n \mathbb{N}.$
Oleh karena itu, pengandaian salah dan haruslah $\cap_{n=1}^\infty I_n$ adalah himpunan kosong.
Soal 9
Misalkan $K_n = (n, \infty)$ untuk $n \in\mathbb{N}.$ Buktikan bahwa $\cap_{n=1}^\infty K_n = \emptyset.$
Jawab. Andaikan bahwa $\cap_{n=1}^\infty K_n$ bukan himpunan kosong. Maka, terdapat paling sedikit satu elemen dari $\cap_{n=1}^\infty K_n$, misalkan elemen tersebut sebagai $z.$ Karena $z \in \cap_{n=1}^\infty K_n$, maka $z \in K_n$ untuk setiap bilangan asli $n.$ Jelas bahwa $z>0.$
Dari sini, $$n < z < \infty, \quad n \in \mathbb{N}. $$Di lain pihak, berdasarkan Teorema 2.4.6, terdapat $n \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $n-1 \leq z \leq n.$ Dapat dilihat bahwa $n \geq 2.$ Selanjutnya, diperoleh bahwa $z \notin (n, \infty)$ yang kontradiksi dengan fakta bahwa $n < z < \infty$ untuk setiap bilangan asli $n.$
Oleh karena itu, pengandaian salah dan haruslah $\cap_{n=1}^\infty K_n$ adalah himpunan kosong, yaitu $\cap_{n=1}^\infty K_n = \emptyset.$
Demikian postingan kali ini tentang Pembahasan Soal Analisis Real Bartle 2.5 Interval. Jika Anda tertarik dengan pembahasan soal Analisis Real Bartle lainnya, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan pembahasan materi/topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
